Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Жадный алгоритм:

  1. AВсегда даёт оптимальное решение
  2. BПеребирает все возможные решения
  3. CИспользует только рекурсию
  4. DНа каждом шаге делает локально наилучший выбор
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Каково решение рекуррентного соотношения T(n) = 2T(n/2) + n log n?

  1. AΘ(n²)
  2. BΘ(n log² n)
  3. CΘ(n log n)
  4. DΘ(n)
3.Структуры данныхСредняя

Ключи 50, 30, 70, 20, 40 вставляются в таком порядке в пустое двоичное дерево поиска. Кто левый потомок 30?

  1. A50
  2. B40
  3. C20
  4. D70
4.Структуры данныхСложная

Почему в хеш-таблице с открытой адресацией удаление часто выполняют с помощью метки «надгробие» (tombstone)?

  1. AУдалённые ключи нужно хранить вечно из соображений безопасности, поэтому ячейки нельзя использовать повторно
  2. BОсвобождение ячейки могло бы разорвать последовательность пробирования для других ключей
  3. CЭто делает таблицу отсортированной
  4. DНадгробия ускоряют хеширование
5.Теория графовСредняя

Связный граф имеет 14 вершин и 21 рёбер. Сколько рёбер, k, нужно удалить, чтобы осталось остовное дерево?

|V| = 14|E| = 21
k =
6.Теория графовСложная
584133910158ABCDEFG

С помощью алгоритма Дейкстры найдите длину d(F) кратчайшего пути от A до F во взвешенном графе.

начало: Aконец: F
d(F) =

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: D · На каждом шаге делает локально наилучший выбор

Почему это ответ

Жадные алгоритмы быстры и для некоторых задач оптимальны (например, алгоритм Дейкстры, кодирование Хаффмана), но не в общем случае (например, задача о размене монет для некоторых систем монет).

Ответ

D · На каждом шаге делает локально наилучший выбор
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: B · Θ(n log² n)

Почему это ответ

Уровень k выполняет около n log(n / 2ᵏ) работы, и суммирование по log n уровням даёт Θ(n log² n) — расширенный второй случай основной теоремы.

Ответ

B · Θ(n log² n)
3.Структуры данных

Ответ: C · 20

Почему это ответ

20 меньше 50 и меньше 30, поэтому становится левым потомком 30; 40 становится его правым потомком.

Ответ

C · 20
4.Структуры данных

Ответ: B · Освобождение ячейки могло бы разорвать последовательность пробирования для других ключей

Почему это ответ

Если бы удалённая ячейка стала пустой, последующие поиски могли бы остановиться слишком рано и пропустить ключи, размещённые дальше в цепочке пробирования.

Ответ

B · Освобождение ячейки могло бы разорвать последовательность пробирования для других ключей
5.Теория графов

Ответ: k = 8

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Рёбра остовного дерева

14 − 1 = 13

Рёбра для удаления

k = 21 − 13 = 8

Ответ

k = 8
6.Теория графов

Ответ: d(F) = 12

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстры по шагам

В каждой строке: зафиксированная вершина, её окончательное расстояние и соседи, у которых расстояние улучшается.

A (0): B: 5, C: 8
B (5): D: 9, G: 14
C (8)
D (9): E: 22, F: 12
F (12)
G (14)
E (22)

Кратчайший путь

A → B → D → F
d(F) = 12

Ответ

d(F) = 12

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms