Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Какова временна́я сложность стандартного алгоритма динамического программирования для наибольшей общей подпоследовательности строк длиной m и n?

  1. AO(mn log n)
  2. BO(m + n)
  3. CO(2m+n)
  4. DO(mn)
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Проблема остановки показывает, что:

  1. AНекоторые программы работают быстрее на более быстрых компьютерах, поэтому остановка зависит от оборудования
  2. BЦиклов следует избегать
  3. CНикакой алгоритм не может для каждой программы и входных данных определить, остановится ли она
  4. DКаждая программа в конце концов останавливается
3.Структуры данныхСредняя

Как найти минимальный ключ в двоичном дереве поиска?

  1. AИдти от корня по левым потомкам, пока левого потомка не окажется
  2. BОбойти все листья и сравнить их
  3. CПосмотреть только на корень
  4. DИдти от корня по правым потомкам, пока правого потомка не окажется
4.Структуры данныхСложная

Динамический массив удваивается при заполнении. Почему многие реализации уменьшают его, только когда он заполнен на четверть, а не наполовину?

  1. AЧтобы массив оставался отсортированным
  2. BПотому что распределитель памяти может освобождать память только четвертями блока
  3. CПотому что уменьшение вдвое при половинном заполнении привело бы к потере элементов
  4. DЧтобы избежать повторных изменений размера, когда push и pop чередуются вблизи границы
5.Теория графовСредняя

Связный граф имеет 20 вершин и 26 рёбер. Сколько рёбер, k, нужно удалить, чтобы осталось остовное дерево?

|V| = 20|E| = 26
k =
6.Теория графовСложная
810116132018ABCDE

Найдите суммарный вес W минимального остовного дерева взвешенного графа.

|V| = 5|E| = 7
W =

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: D · O(mn)

Почему это ответ

В таблице (m + 1)(n + 1) ячеек, и каждая вычисляется за O(1) из соседних.

Ответ

D · O(mn)
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: C · Никакой алгоритм не может для каждой программы и входных данных определить, остановится ли она

Почему это ответ

Тьюринг показал, что проблема остановки неразрешима: предположение о существовании разрешающего алгоритма приводит к противоречию с программой, которая поступает наоборот.

Ответ

C · Никакой алгоритм не может для каждой программы и входных данных определить, остановится ли она
3.Структуры данных

Ответ: A · Идти от корня по левым потомкам, пока левого потомка не окажется

Почему это ответ

У самого левого узла нет в дереве меньшего ключа, поэтому он минимальный; стоимость пропорциональна высоте.

Ответ

A · Идти от корня по левым потомкам, пока левого потомка не окажется
4.Структуры данных

Ответ: D · Чтобы избежать повторных изменений размера, когда push и pop чередуются вблизи границы

Почему это ответ

Уменьшение при половинном заполнении в такой последовательности могло бы вызывать изменение размера на каждой операции; промежуток между 1/4 и полным заполнением сохраняет амортизированную стоимость O(1).

Ответ

D · Чтобы избежать повторных изменений размера, когда push и pop чередуются вблизи границы
5.Теория графов

Ответ: k = 7

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Рёбра остовного дерева

20 − 1 = 19

Рёбра для удаления

k = 26 − 19 = 7

Ответ

k = 7
6.Теория графов

Ответ: W = 38

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Краскала

BC (1): берём
AB (8): берём
AC (10): пропускаем, замыкает цикл
CE (13): берём
BD (16): берём

Суммарный вес

W = 1 + 8 + 13 + 16 = 38

Ответ

W = 38

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms