Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

В отсортированном массиве вы ищете два элемента с заданной суммой, двигая по одному указателю с каждого конца внутрь. Какова временна́я сложность?

  1. AO(n²)
  2. BO(log n)
  3. CO(n)
  4. DO(n log n)
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Задача о рюкзаке 0/1, решаемая динамическим программированием, требует O(nW) времени. Почему это называют псевдополиномиальным временем?

  1. AПотому что он работает только при W = 0
  2. BПотому что алгоритм рандомизированный, и время его работы меняется для каждого входа
  3. CПотому что n всегда мало
  4. DW — число, поэтому время экспоненциально относительно количества битов, используемых для записи W
3.Структуры данныхСредняя

Что происходит, когда хеш-таблица выполняет рехеширование после превышения порога коэффициента заполнения?

  1. AСамые старые ключи удаляются, чтобы освободить место
  2. BСуществующие ключи сортируются на месте
  3. CВыделяется таблица большего размера, и каждый ключ вставляется заново
  4. DВ новый список переполнения в конце таблицы переносятся только конфликтующие ключи
4.Структуры данныхСложная

Временная сложность операции decrease-key в двоичной куче (при известной позиции элемента) составляет:

  1. AO(n)
  2. BO(n log n)
  3. CO(log n)
  4. DO(1)
5.Теория графовСредняя

Сколько различных гамильтоновых циклов, H, в полном графе K4? Циклы, отличающиеся только начальной вершиной или направлением, считаются одним и тем же.

K4
H =
6.Теория графовСложная
ABCDEF

Сколько существует маршрутов длины 2 из D в A? Маршрут может повторять вершины и рёбра. Обозначим это число N.

M = матрица смежностиL = 2
N =

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: C · O(n)

Почему это ответ

Если сумма слишком мала, левый указатель сдвигается вправо, если слишком велика — правый влево, поэтому шагов не больше n.

Ответ

C · O(n)
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: D · W — число, поэтому время экспоненциально относительно количества битов, используемых для записи W

Почему это ответ

Время работы полиномиально относительно значения W, но экспоненциально относительно его длины (log W битов); задача о рюкзаке 0/1 является NP-полной.

Ответ

D · W — число, поэтому время экспоненциально относительно количества битов, используемых для записи W
3.Структуры данных

Ответ: C · Выделяется таблица большего размера, и каждый ключ вставляется заново

Почему это ответ

Поскольку индекс вычисляется по модулю размера таблицы, все ключи нужно заново хешировать в новую, большую таблицу; при удвоении это остаётся O(1) амортизированно.

Ответ

C · Выделяется таблица большего размера, и каждый ключ вставляется заново
4.Структуры данных

Ответ: C · O(log n)

Почему это ответ

После уменьшения ключа элемент поднимается не более чем на высоту кучи. Фибоначчиевы кучи достигают амортизированного decrease-key за O(1).

Ответ

C · O(log n)
5.Теория графов

Ответ: H = 3

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Посчитайте

H = (4 − 1)!/2 = 6/2 = 3

Ответ

H = 3
6.Теория графов

Ответ: N = 1

Степени: степень вершины — это число рёбер, которые в ней сходятся. У каждого ребра два конца, поэтому степени в сумме дают удвоенное число рёбер: Σ deg(v) = 2|E| (лемма о рукопожатиях). Следовательно, число вершин нечётной степени чётно. У Kn имеется n(n − 1)/2 рёбер, у k-регулярного графа на n вершинах nk/2, а у дерева на n вершинах n − 1 ребро.

Матрица смежности

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 1 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 1 1
E: 0 1 1 1 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

Общие соседи

(M²)DA = 0·0 + 1·1 + 0·1 + 0·0 + 1·0 + 1·0 = 1

Ответ

N = 1

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms