Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Какова временна́я сложность стандартного алгоритма динамического программирования для наибольшей общей подпоследовательности строк длиной m и n?

  1. AO(mn log n)
  2. BO(2m+n)
  3. CO(m + n)
  4. DO(mn)
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Каковы затраты времени и памяти при вычислении n-го числа Фибоначчи циклом, хранящим только два последних значения?

  1. AO(n) времени и O(1) памяти
  2. BO(2ⁿ) времени и O(1) памяти
  3. CO(log n) времени и O(n) памяти
  4. DO(n) времени и O(n) памяти
3.Структуры данныхСредняя

Симметричный обход (in-order) двоичного дерева поиска посещает ключи:

  1. AВ порядке вставки
  2. BПо уровням
  3. CВсегда в порядке убывания
  4. DВ порядке возрастания (отсортированно)
4.Структуры данныхСложная

В чём главное преимущество списка с пропусками (skip list) перед отсортированным связным списком?

  1. AОжидаемый поиск за O(log n) благодаря нескольким уровням указателей вперёд
  2. BГарантированный поиск за O(1), потому что каждый узел хранит указатель на каждый другой узел
  3. CОн не использует дополнительной памяти
  4. DОн хранит ключи без упорядочения
5.Теория графовСредняя

Сколько различных гамильтоновых циклов, H, в полном графе K5? Циклы, отличающиеся только начальной вершиной или направлением, считаются одним и тем же.

K5
H =
6.Теория графовСложная
1311716101917ABCDEF

Найдите суммарный вес W минимального остовного дерева взвешенного графа.

|V| = 6|E| = 8
W =

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: D · O(mn)

Почему это ответ

В таблице (m + 1)(n + 1) ячеек, и каждая вычисляется за O(1) из соседних.

Ответ

D · O(mn)
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: A · O(n) времени и O(1) памяти

Почему это ответ

Каждому шагу нужны лишь два предыдущих значения, поэтому таблицу восходящего метода можно заменить двумя переменными.

Ответ

A · O(n) времени и O(1) памяти
3.Структуры данных

Ответ: D · В порядке возрастания (отсортированно)

Почему это ответ

Посещение левого поддерева, затем узла, затем правого поддерева выводит ключи BST в отсортированном порядке.

Ответ

D · В порядке возрастания (отсортированно)
4.Структуры данных

Ответ: A · Ожидаемый поиск за O(log n) благодаря нескольким уровням указателей вперёд

Почему это ответ

Случайные уровни позволяют поиску пропускать много узлов, что даёт ожидаемую сложность O(log n) для поиска, вставки и удаления.

Ответ

A · Ожидаемый поиск за O(log n) благодаря нескольким уровням указателей вперёд
5.Теория графов

Ответ: H = 12

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Посчитайте

H = (5 − 1)!/2 = 24/2 = 12

Ответ

H = 12
6.Теория графов

Ответ: W = 41

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Краскала

DF (1): берём
BD (7): берём
EF (9): берём
DE (10): пропускаем, замыкает цикл
AC (11): берём
AB (13): берём

Суммарный вес

W = 1 + 7 + 9 + 11 + 13 = 41

Ответ

W = 41

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms