Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Нижняя граница для сортировки сравнениями в худшем случае равна:

  1. AΩ(n)
  2. BΩ(n log n)
  3. CΩ(n²)
  4. DΩ(log n)
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Какое определение класса P верно?

  1. AЗадачи, решения которых можно проверить, но никогда не найти за полиномиальное время
  2. BЗадачи, требующие экспоненциального времени на любом компьютере
  3. CЗадачи, которые можно решать параллельно
  4. DЗадачи распознавания, решаемые детерминированным алгоритмом за полиномиальное время
3.Структуры данныхСредняя

Сколько памяти занимает матрица смежности графа с V вершинами?

  1. AO(E)
  2. BO(log V)
  3. CO(V²)
  4. DO(V + E)
4.Структуры данныхСложная

В кольцевом буфере front == rear может означать и «пуст», и «полон». Какой распространённый способ их различить?

  1. AВсегда очищать буфер, когда front равен rear, так что состояние — пустой
  2. BХранить отдельный счётчик элементов или всегда оставлять одну ячейку свободной
  3. CДелать размер буфера степенью двойки
  4. DХранить front и rear в одной переменной
5.Теория графовСредняя

У дерева 4 вершин степени 3, а все остальные его вершины — листья (степень 1). Сколько у него листьев, L?

4 × deg 3
L =
6.Теория графовСложная
ABCDEF

Сколько существует маршрутов длины 2 из D в C? Маршрут может повторять вершины и рёбра. Обозначим это число N.

M = матрица смежностиL = 2
N =

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: B · Ω(n log n)

Почему это ответ

Любой сортировке сравнениями в худшем случае требуется не менее log₂(n!) ≈ n log n сравнений. Сортировка подсчётом (counting sort) обходит эту границу, так как не сравнивает элементы.

Ответ

B · Ω(n log n)
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: D · Задачи распознавания, решаемые детерминированным алгоритмом за полиномиальное время

Почему это ответ

P содержит задачи распознавания с детерминированным полиномиальным алгоритмом, например проверку связности графа.

Ответ

D · Задачи распознавания, решаемые детерминированным алгоритмом за полиномиальное время
3.Структуры данных

Ответ: C · O(V²)

Почему это ответ

Матрица смежности хранит V × V элементов, что эффективно для плотных графов; списки смежности занимают O(V + E) и лучше подходят для разреженных графов.

Ответ

C · O(V²)
4.Структуры данных

Ответ: B · Хранить отдельный счётчик элементов или всегда оставлять одну ячейку свободной

Почему это ответ

Со счётчиком «пуст» означает count = 0, а «полон» — count = ёмкость; при одной свободной ячейке «полон» определяется как (rear + 1) mod n == front.

Ответ

B · Хранить отдельный счётчик элементов или всегда оставлять одну ячейку свободной
5.Теория графов

Ответ: L = 6

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Лемма о рукопожатиях для дерева

L + 12 = 2(L + 4) − 2
L = 6

Ответ

L = 6

Короткий путь: L = 2 + Σ (d − 2) по вершинам степени d ≥ 3.

6.Теория графов

Ответ: N = 2

Степени: степень вершины — это число рёбер, которые в ней сходятся. У каждого ребра два конца, поэтому степени в сумме дают удвоенное число рёбер: Σ deg(v) = 2|E| (лемма о рукопожатиях). Следовательно, число вершин нечётной степени чётно. У Kn имеется n(n − 1)/2 рёбер, у k-регулярного графа на n вершинах nk/2, а у дерева на n вершинах n − 1 ребро.

Матрица смежности

A: 0 0 1 0 0 0
B: 0 0 1 1 1 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 1 1
E: 0 1 1 1 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

Общие соседи

(M²)DC = 0·1 + 1·1 + 0·0 + 0·0 + 1·1 + 1·0 = 2

Ответ

N = 2

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms