Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Вы один раз сортируете массив из n элементов, а затем отвечаете на k запросов о принадлежности бинарным поиском. Какова общая стоимость?

  1. AO(n log n + k log n)
  2. BO(n + k)
  3. CO(nk)
  4. DO(k n log n)
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Каково решение рекуррентного соотношения T(n) = 2T(n/2) + n log n?

  1. AΘ(n log² n)
  2. BΘ(n log n)
  3. CΘ(n)
  4. DΘ(n²)
3.Структуры данныхСредняя

Чему равно значение постфиксного выражения 3 4 + 2 * ?

  1. A14
  2. B10
  3. C11
  4. D24
4.Структуры данныхСложная

Зачем серверу выбирать хеш-функцию случайно из универсального семейства?

  1. AЧтобы хеш-таблица была отсортирована
  2. BЧтобы не нужно было увеличивать таблицу
  3. CЧтобы гарантировать, что никакие два ключа никогда не столкнутся, какие бы ключи ни присылал атакующий
  4. DЧтобы сделать крайне маловероятным, что атакующий подберёт много ключей с одинаковым хешем
5.Теория графовСредняя
ABCDEЭйлеров циклЭйлеров путь, не циклни то, ни другое

Есть ли в связном графе эйлеров цикл, эйлеров путь, не являющийся циклом, или ни то ни другое? Нажмите на ваш ответ.

|V| = 5|E| = 6
  1. 1Эйлеров цикл
  2. 2Эйлеров путь, не цикл
  3. 3ни то, ни другое
6.Теория графовСложная
923195181318ABCDEFG

Найдите суммарный вес W минимального остовного дерева взвешенного графа.

|V| = 7|E| = 9
W =

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: A · O(n log n + k log n)

Почему это ответ

Сортировка стоит O(n log n), а каждый запрос — O(log n); при больших k это выгоднее k линейных просмотров (O(nk)).

Ответ

A · O(n log n + k log n)
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: A · Θ(n log² n)

Почему это ответ

Уровень k выполняет около n log(n / 2ᵏ) работы, и суммирование по log n уровням даёт Θ(n log² n) — расширенный второй случай основной теоремы.

Ответ

A · Θ(n log² n)
3.Структуры данных

Ответ: A · 14

Почему это ответ

Помещаем 3 и 4, + даёт 7; помещаем 2, * даёт 7 × 2 = 14.

Ответ

A · 14
4.Структуры данных

Ответ: D · Чтобы сделать крайне маловероятным, что атакующий подберёт много ключей с одинаковым хешем

Почему это ответ

При универсальном хешировании ожидаемое число коллизий мало для любого множества ключей, поскольку атакующий не знает, какая функция выбрана.

Ответ

D · Чтобы сделать крайне маловероятным, что атакующий подберёт много ключей с одинаковым хешем
5.Теория графов

Ответ: Эйлеров путь, не цикл

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Степени

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Нечётные вершины

B, C → 2
Эйлеров путь, не цикл

Ответ

Эйлеров путь, не цикл

Эйлеров путь начинается в одной нечётной вершине и заканчивается в другой.

6.Теория графов

Ответ: W = 48

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Краскала

GC (1): берём
AC (2): берём
BC (3): берём
CE (5): берём
GE (8): пропускаем, замыкает цикл
AB (9): пропускаем, замыкает цикл
GB (13): пропускаем, замыкает цикл
DF (18): берём
BD (19): берём

Суммарный вес

W = 1 + 2 + 3 + 5 + 18 + 19 = 48

Ответ

W = 48

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms