Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Динамическое программирование полезно, когда у задачи есть:

  1. AТолько случайные входные данные
  2. BОдин цикл
  3. CПерекрывающиеся подзадачи и оптимальная подструктура
  4. DВообще никаких подзадач, поэтому её можно решить за один шаг
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Задача о рюкзаке 0/1, решаемая динамическим программированием, требует O(nW) времени. Почему это называют псевдополиномиальным временем?

  1. AПотому что n всегда мало
  2. BПотому что он работает только при W = 0
  3. CW — число, поэтому время экспоненциально относительно количества битов, используемых для записи W
  4. DПотому что алгоритм рандомизированный, и время его работы меняется для каждого входа
3.Структуры данныхСредняя

Сколько времени занимает проверка существования ребра (u, v) с помощью матрицы смежности?

  1. AO(1)
  2. BO(E)
  3. CO(log V)
  4. DO(V)
4.Структуры данныхСложная

Узел АВЛ-дерева разбалансирован, потому что правое поддерево его левого потомка стало слишком высоким (случай левый–правый). Какое исправление применяется?

  1. AЛевый поворот в левом потомке, затем правый поворот в узле
  2. BОдиночный левый поворот в узле
  3. CОдиночный правый поворот в узле
  4. DПравый поворот в левом потомке, затем левый поворот в узле
5.Теория графовСредняя

Связный граф имеет 10 вершин и 11 рёбер. Сколько рёбер, k, нужно удалить, чтобы осталось остовное дерево?

|V| = 10|E| = 11
k =
6.Теория графовСложная
78181031620524ABCDEFG

Найдите суммарный вес W минимального остовного дерева взвешенного графа.

|V| = 7|E| = 11
W =

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: C · Перекрывающиеся подзадачи и оптимальная подструктура

Почему это ответ

Сохранение результатов перекрывающихся подзадач (мемоизация или табуляция) позволяет избежать повторной работы и превращает экспоненциальные алгоритмы в полиномиальные.

Ответ

C · Перекрывающиеся подзадачи и оптимальная подструктура
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: C · W — число, поэтому время экспоненциально относительно количества битов, используемых для записи W

Почему это ответ

Время работы полиномиально относительно значения W, но экспоненциально относительно его длины (log W битов); задача о рюкзаке 0/1 является NP-полной.

Ответ

C · W — число, поэтому время экспоненциально относительно количества битов, используемых для записи W
3.Структуры данных

Ответ: A · O(1)

Почему это ответ

Элемент матрицы в строке u и столбце v сразу показывает, есть ли ребро; в списках смежности может понадобиться просмотреть соседей u.

Ответ

A · O(1)
4.Структуры данных

Ответ: A · Левый поворот в левом потомке, затем правый поворот в узле

Почему это ответ

Первый поворот превращает случай левый–правый в случай левый–левый, который затем исправляет правый поворот в несбалансированном узле.

Ответ

A · Левый поворот в левом потомке, затем правый поворот в узле
5.Теория графов

Ответ: k = 2

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Рёбра остовного дерева

10 − 1 = 9

Рёбра для удаления

k = 11 − 9 = 2

Ответ

k = 2
6.Теория графов

Ответ: W = 26

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Краскала

DF (1): берём
GD (2): берём
DE (3): берём
GE (4): пропускаем, замыкает цикл
GC (5): берём
EF (6): пропускаем, замыкает цикл
AB (7): берём
AC (8): берём

Суммарный вес

W = 1 + 2 + 3 + 5 + 7 + 8 = 26

Ответ

W = 26

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms