Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Почему основание логарифма в O большом обычно не указывают, как в O(log n)?

  1. AЛогарифмы по разным основаниям отличаются лишь постоянным множителем
  2. BЛогарифмы всегда округляются до целых
  3. CОснование имеет значение только при малых n
  4. DВсе логарифмы в информатике имеют основание 10, так что оно подразумевается
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Как классифицируется задача коммивояжёра?

  1. AОна лежит в P, потому что её решает алгоритм Дейкстры, посещая каждый город один раз
  2. BВерсия распознавания лежит в P, а оптимизационная NP-полна
  3. CОна неразрешима
  4. DВерсия распознавания NP-полна, а оптимизационная версия NP-трудна
3.Структуры данныхСредняя

Какую структуру данных использует поиск в глубину (DFS, итеративная версия)?

  1. AТолько хеш-таблицу
  2. BОчередь
  3. CКучу
  4. DСтек
4.Структуры данныхСложная

Вставка ключа в АВЛ-дерево делает левое поддерево узла слишком высоким, причём новый ключ попал в левое поддерево его левого потомка (случай левый–левый). Какое исправление применяется?

  1. AОдиночный левый поворот в несбалансированном узле
  2. BОдиночный правый поворот в несбалансированном узле
  3. CЛевый поворот в потомке, затем правый поворот в узле
  4. DПерекрашивание узла и его потомка
5.Теория графовСредняя

Сколько различных гамильтоновых циклов, H, в полном графе K8? Циклы, отличающиеся только начальной вершиной или направлением, считаются одним и тем же.

K8
H =
6.Теория графовСложная
14151372128124ABCDEFG

Алгоритм Дейкстры запускается из A. Нажмите на вершину, которая фиксируется (становится постоянной) на шаге 6; сама A фиксируется на шаге 1.

начало: Aшаг 6
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: A · Логарифмы по разным основаниям отличаются лишь постоянным множителем

Почему это ответ

Смена основания умножает логарифм на константу, а O большое игнорирует постоянные множители.

Ответ

A · Логарифмы по разным основаниям отличаются лишь постоянным множителем
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: D · Версия распознавания NP-полна, а оптимизационная версия NP-трудна

Почему это ответ

«Есть ли обход длиной не более k?» — NP-полная задача; поиск кратчайшего обхода NP-труден, так как он не легче.

Ответ

D · Версия распознавания NP-полна, а оптимизационная версия NP-трудна
3.Структуры данных

Ответ: D · Стек

Почему это ответ

DFS углубляется как можно дальше, естественно используя стек (или стек вызовов рекурсии); BFS использует очередь.

Ответ

D · Стек
4.Структуры данных

Ответ: B · Одиночный правый поворот в несбалансированном узле

Почему это ответ

В случае левый–левый один правый поворот поднимает левого потомка вверх и восстанавливает баланс; случаи зигзага требуют двойного поворота.

Ответ

B · Одиночный правый поворот в несбалансированном узле
5.Теория графов

Ответ: H = 2520

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Посчитайте

H = (8 − 1)!/2 = 5040/2 = 2520

Ответ

H = 2520
6.Теория графов

Ответ: G

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстры по шагам

1. A (0): B: 14, C: 15
2. B (14): D: 17, G: 22
3. C (15)
4. D (17): E: 24, F: 19
5. F (19)
6. G (22)
7. E (24)

шаг 6

G

Ответ

G

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms