Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Почему динамическое программирование не даёт реального ускорения для сортировки слиянием?

  1. AЕё подзадачи не перекрываются, поэтому нечего использовать повторно
  2. BСортировка слиянием уже работает за O(n)
  3. CУ сортировки слиянием нет рекурсивной структуры
  4. DДинамическое программирование работает только на задачах о графах, но не на массивах
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Почему алгоритм Дейкстры может давать неверные результаты, если некоторые веса рёбер отрицательны?

  1. AОн работает только на неориентированных графах
  2. BВершина фиксируется при извлечении, но позже отрицательное ребро ещё может дать ей более короткий путь
  3. CОтрицательные числа нельзя хранить в очереди с приоритетом
  4. DНа каждом отрицательном ребре он зацикливается
3.Структуры данныхСредняя

Кольцевой буфер (ring buffer) обычно используют для реализации:

  1. AДвоичного дерева поиска
  2. BОчереди фиксированного размера
  3. CХеш-функции
  4. DОбхода графа
4.Структуры данныхСложная

Какому свойству должно удовлетворять красно-чёрное дерево?

  1. AКорень должен быть красным
  2. BКаждый узел должен быть красным
  3. CКаждый путь от узла до его листьев-потомков содержит одинаковое число чёрных узлов
  4. DУ каждого красного узла должны быть красные потомки, поэтому красные узлы всегда образуют непрерывные цепочки до листьев
5.Теория графовСредняя

У дерева 2 вершин степени 4, 4 вершин степени 5, 3 вершин степени 2, а все остальные его вершины — листья (степень 1). Сколько у него листьев, L?

2 × deg 44 × deg 53 × deg 2
L =
6.Теория графовСложная
16116712920151014ABCDEFG

Найдите суммарный вес W минимального остовного дерева взвешенного графа.

|V| = 7|E| = 10
W =

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: A · Её подзадачи не перекрываются, поэтому нечего использовать повторно

Почему это ответ

Половины в сортировке слиянием не пересекаются, и каждая решается один раз; ДП помогает только при повторяющихся подзадачах, как в числах Фибоначчи.

Ответ

A · Её подзадачи не перекрываются, поэтому нечего использовать повторно
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: B · Вершина фиксируется при извлечении, но позже отрицательное ребро ещё может дать ей более короткий путь

Почему это ответ

Жадный шаг опирается на неотрицательные веса, чтобы извлечённые расстояния были окончательными; когда веса могут быть отрицательными, применяют Беллмана–Форда.

Ответ

B · Вершина фиксируется при извлечении, но позже отрицательное ребро ещё может дать ей более короткий путь
3.Структуры данных

Ответ: B · Очереди фиксированного размера

Почему это ответ

Кольцевой буфер использует индексы head и tail, которые циклически переходят в начало, обеспечивая enqueue и dequeue за O(1) в фиксированном объёме памяти.

Ответ

B · Очереди фиксированного размера
4.Структуры данных

Ответ: C · Каждый путь от узла до его листьев-потомков содержит одинаковое число чёрных узлов

Почему это ответ

Правила красно-чёрного дерева: узлы красные или чёрные, корень чёрный, потомки красных узлов чёрные, а все пути имеют одинаковую чёрную высоту, что удерживает высоту ≤ 2 log₂(n + 1).

Ответ

C · Каждый путь от узла до его листьев-потомков содержит одинаковое число чёрных узлов
5.Теория графов

Ответ: L = 18

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Лемма о рукопожатиях для дерева

L + 34 = 2(L + 9) − 2
L = 18

Ответ

L = 18

Короткий путь: L = 2 + Σ (d − 2) по вершинам степени d ≥ 3.

6.Теория графов

Ответ: W = 58

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Краскала

BC (6): берём
BD (7): берём
DE (9): берём
GB (10): берём
AC (11): берём
CE (12): пропускаем, замыкает цикл
GE (14): пропускаем, замыкает цикл
EF (15): берём

Суммарный вес

W = 6 + 7 + 9 + 10 + 11 + 15 = 58

Ответ

W = 58

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms