Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

При монетах 1, 3 и 4 и сумме 6 сколько монет использует жадный метод «сначала самая крупная монета» по сравнению с оптимумом?

  1. AЖадный метод использует 3 монеты; оптимум — 2
  2. BЖадный метод использует 2 монеты; оптимум — 2
  3. CЖадный метод использует 4 монеты; оптимум — 3
  4. DЖадный метод использует 3 монеты; оптимум — 3
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Сортировка вставками работает за O(n) на отсортированном входе. Противоречит ли это нижней оценке Ω(n log n) для сортировки сравнениями?

  1. AДа, но только для массивов короче 100
  2. BНет, нижняя оценка относится к худшему случаю по всем входам, а не к каждому входу
  3. CДа, значит, нижняя оценка неверна
  4. DНет, потому что сортировка вставками не является сортировкой сравнениями
3.Структуры данныхСредняя

Какое условие балансировки поддерживает АВЛ-дерево в каждом узле?

  1. AОба поддерева каждого узла содержат ровно одинаковое число узлов
  2. BВсе листья находятся ровно на одной глубине
  3. CВысоты левого и правого поддеревьев различаются не более чем на 1
  4. DКаждый узел окрашен в красный или чёрный цвет
4.Структуры данныхСложная

Зачем серверу выбирать хеш-функцию случайно из универсального семейства?

  1. AЧтобы гарантировать, что никакие два ключа никогда не столкнутся, какие бы ключи ни присылал атакующий
  2. BЧтобы сделать крайне маловероятным, что атакующий подберёт много ключей с одинаковым хешем
  3. CЧтобы хеш-таблица была отсортирована
  4. DЧтобы не нужно было увеличивать таблицу
5.Теория графовСредняя

Сколько различных гамильтоновых циклов, H, в полном графе K7? Циклы, отличающиеся только начальной вершиной или направлением, считаются одним и тем же.

K7
H =
6.Теория графовСложная
ABCDE

Сколько существует замкнутых маршрутов длины 3, начинающихся и заканчивающихся в B? Маршрут может повторять вершины и рёбра. Обозначим это число N.

M = матрица смежностиL = 3
N =

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: A · Жадный метод использует 3 монеты; оптимум — 2

Почему это ответ

Жадный метод берёт 4 + 1 + 1 = 3 монеты, а 3 + 3 — лишь 2, поэтому для этой системы монет жадный метод не оптимален; динамическое программирование оптимально.

Ответ

A · Жадный метод использует 3 монеты; оптимум — 2
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: B · Нет, нижняя оценка относится к худшему случаю по всем входам, а не к каждому входу

Почему это ответ

Оценка утверждает, что любой сортировке сравнениями нужно около n log n сравнений на некотором входе размера n; особые входы могут обрабатываться гораздо быстрее.

Ответ

B · Нет, нижняя оценка относится к худшему случаю по всем входам, а не к каждому входу
3.Структуры данных

Ответ: C · Высоты левого и правого поддеревьев различаются не более чем на 1

Почему это ответ

Показатель сбалансированности (высота левого − высота правого) должен быть −1, 0 или 1; повороты восстанавливают его после вставок и удалений.

Ответ

C · Высоты левого и правого поддеревьев различаются не более чем на 1
4.Структуры данных

Ответ: B · Чтобы сделать крайне маловероятным, что атакующий подберёт много ключей с одинаковым хешем

Почему это ответ

При универсальном хешировании ожидаемое число коллизий мало для любого множества ключей, поскольку атакующий не знает, какая функция выбрана.

Ответ

B · Чтобы сделать крайне маловероятным, что атакующий подберёт много ключей с одинаковым хешем
5.Теория графов

Ответ: H = 360

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Посчитайте

H = (7 − 1)!/2 = 720/2 = 360

Ответ

H = 360
6.Теория графов

Ответ: N = 4

Степени: степень вершины — это число рёбер, которые в ней сходятся. У каждого ребра два конца, поэтому степени в сумме дают удвоенное число рёбер: Σ deg(v) = 2|E| (лемма о рукопожатиях). Следовательно, число вершин нечётной степени чётно. У Kn имеется n(n − 1)/2 рёбер, у k-регулярного графа на n вершинах nk/2, а у дерева на n вершинах n − 1 ребро.

Матрица смежности

A: 0 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 1
C: 0 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

Ещё один шаг

(M³)BB = 0·1 + 4·0 + 1·1 + 1·1 + 2·1 = 4

Ответ

N = 4

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms