Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Какой алгоритм находит кратчайшие пути из одного источника в графе с неотрицательными весами рёбер?

  1. AПоиск в глубину (DFS)
  2. BАлгоритм Краскала
  3. CВо всех случаях требуется алгоритм Беллмана–Форда
  4. DАлгоритм Дейкстры
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Что установила теорема Кука–Левина?

  1. AПроблема остановки неразрешима
  2. BЗадача выполнимости булевых формул (SAT) NP-полна
  3. CP не равно NP
  4. DЛюбую задачу из NP можно решить за экспоненциальное время
3.Структуры данныхСредняя

Сколько памяти занимает матрица смежности графа с V вершинами?

  1. AO(V + E)
  2. BO(log V)
  3. CO(V²)
  4. DO(E)
4.Структуры данныхСложная

Что делает косое дерево (splay tree) после каждого обращения?

  1. AПеремещает узел, к которому обращались, в лист
  2. BПоворотами поднимает узел, к которому обращались, в корень
  3. CПерекрашивает узлы на пути поиска
  4. DПерестраивает всё дерево в сбалансированном виде
5.Теория графовСредняя

Связный граф имеет 13 вершин и 19 рёбер. Сколько рёбер, k, нужно удалить, чтобы осталось остовное дерево?

|V| = 13|E| = 19
k =
6.Теория графовСложная
102125171816ABCDE

Алгоритм Прима строит минимальное остовное дерево, начиная с вершины D. Нажмите на ребро, которое он добавляет под номером 4.

начало: Dk = 4
  1. 1ребро AB
  2. 2ребро AC
  3. 3ребро BC
  4. 4ребро BD
  5. 5ребро CE
  6. 6ребро DE
  7. 7ребро BE

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: D · Алгоритм Дейкстры

Почему это ответ

Алгоритм Дейкстры работает с неотрицательными весами; алгоритм Беллмана–Форда допускает отрицательные веса; алгоритм Краскала строит минимальные остовные деревья.

Ответ

D · Алгоритм Дейкстры
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: B · Задача выполнимости булевых формул (SAT) NP-полна

Почему это ответ

Кук и Левин независимо показали, что любая задача из NP сводится к SAT за полиномиальное время, поэтому SAT стала первой известной NP-полной задачей.

Ответ

B · Задача выполнимости булевых формул (SAT) NP-полна
3.Структуры данных

Ответ: C · O(V²)

Почему это ответ

Матрица смежности хранит V × V элементов, что эффективно для плотных графов; списки смежности занимают O(V + E) и лучше подходят для разреженных графов.

Ответ

C · O(V²)
4.Структуры данных

Ответ: B · Поворотами поднимает узел, к которому обращались, в корень

Почему это ответ

Splay-операция поворотами перемещает узел, к которому обращались, в корень; одна операция может стоить O(n), но амортизированная стоимость — O(log n).

Ответ

B · Поворотами поднимает узел, к которому обращались, в корень
5.Теория графов

Ответ: k = 7

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Рёбра остовного дерева

13 − 1 = 12

Рёбра для удаления

k = 19 − 12 = 7

Ответ

k = 7
6.Теория графов

Ответ: ребро BE

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Прима

1. BD (5)
2. AB (10)
3. AC (2)
4. BE (16)

номер ребра 4

BE

Ответ

ребро BE

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms