Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Динамическое программирование полезно, когда у задачи есть:

  1. AВообще никаких подзадач, поэтому её можно решить за один шаг
  2. BОдин цикл
  3. CТолько случайные входные данные
  4. DПерекрывающиеся подзадачи и оптимальная подструктура
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Какое определение класса P верно?

  1. AЗадачи распознавания, решаемые детерминированным алгоритмом за полиномиальное время
  2. BЗадачи, которые можно решать параллельно
  3. CЗадачи, требующие экспоненциального времени на любом компьютере
  4. DЗадачи, решения которых можно проверить, но никогда не найти за полиномиальное время
3.Структуры данныхСредняя

АВЛ-деревья (AVL) и красно-чёрные деревья гарантируют:

  1. AПоиск за константное время в любом случае
  2. BЧто ни у одного узла нет двух потомков
  3. CХранение ключей в порядке вставки
  4. DВысоту O(log n) благодаря перебалансировке
4.Структуры данныхСложная

Какую проблему линейного пробирования в основном уменьшает двойное хеширование?

  1. AНеобходимость в хеш-функции
  2. BСтоимость O(n) чтения значения по ключу
  3. CНеобходимость хранить ключи в таблице
  4. DПервичную кластеризацию, при которой образуются длинные серии занятых ячеек
5.Теория графовСредняя

Связный граф имеет 15 вершин и 22 рёбер. Сколько рёбер, k, нужно удалить, чтобы осталось остовное дерево?

|V| = 15|E| = 22
k =
6.Теория графовСложная
269151010713ABCDEF

С помощью алгоритма Дейкстры найдите длину d(F) кратчайшего пути от A до F во взвешенном графе.

начало: Aконец: F
d(F) =

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: D · Перекрывающиеся подзадачи и оптимальная подструктура

Почему это ответ

Сохранение результатов перекрывающихся подзадач (мемоизация или табуляция) позволяет избежать повторной работы и превращает экспоненциальные алгоритмы в полиномиальные.

Ответ

D · Перекрывающиеся подзадачи и оптимальная подструктура
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: A · Задачи распознавания, решаемые детерминированным алгоритмом за полиномиальное время

Почему это ответ

P содержит задачи распознавания с детерминированным полиномиальным алгоритмом, например проверку связности графа.

Ответ

A · Задачи распознавания, решаемые детерминированным алгоритмом за полиномиальное время
3.Структуры данных

Ответ: D · Высоту O(log n) благодаря перебалансировке

Почему это ответ

Самобалансирующиеся деревья сохраняют логарифмическую высоту, поэтому поиск, вставка и удаление в худшем случае выполняются за O(log n).

Ответ

D · Высоту O(log n) благодаря перебалансировке
4.Структуры данных

Ответ: D · Первичную кластеризацию, при которой образуются длинные серии занятых ячеек

Почему это ответ

Линейное пробирование делает шаг 1, поэтому серии занятых ячеек растут и сливаются; двойное хеширование использует второй хеш для размера шага, так что разные ключи проходят разные последовательности.

Ответ

D · Первичную кластеризацию, при которой образуются длинные серии занятых ячеек
5.Теория графов

Ответ: k = 8

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Рёбра остовного дерева

15 − 1 = 14

Рёбра для удаления

k = 22 − 14 = 8

Ответ

k = 8
6.Теория графов

Ответ: d(F) = 24

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстры по шагам

В каждой строке: зафиксированная вершина, её окончательное расстояние и соседи, у которых расстояние улучшается.

A (0): C: 2
C (2): B: 8, E: 17
B (8): D: 17
D (17): F: 27
E (17): F: 24
F (24)

Кратчайший путь

A → C → E → F
d(F) = 24

Ответ

d(F) = 24

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms