Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Что измеряет амортизационный анализ?

  1. AСтоимость одной самой дорогой операции в любом месте последовательности
  2. BСреднюю стоимость одной операции в худшей последовательности операций
  3. CСтоимость алгоритма на лучшем входе
  4. DОжидаемую стоимость на случайных входах
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Что нужно сделать, чтобы показать, что новая задача X NP-трудна?

  1. AПоказать, что у X нет полиномиального алгоритма для малых входов
  2. BПоказать, что X можно проверить за полиномиальное время
  3. CСвести X к известной NP-трудной задаче за полиномиальное время
  4. DСвести известную NP-трудную задачу к X за полиномиальное время
3.Структуры данныхСредняя

Почему обход массива на практике часто гораздо быстрее обхода связного списка той же длины?

  1. AСвязные списки всегда хранят элементы на диске
  2. BОбход массива занимает в сумме O(1), а связного списка — O(n)
  3. CМассивы требуют меньше инструкций для сравнения значений
  4. DЭлементы массива расположены непрерывно, поэтому хорошо используют кэш процессора
4.Структуры данныхСложная

Какая пара обходов всегда однозначно определяет двоичное дерево с различными ключами?

  1. AОдин только обход по уровням
  2. BПрямой и симметричный (preorder и inorder)
  3. CОдин только прямой
  4. DПрямой и обратный (preorder и postorder)
5.Теория графовСредняя
ABCDEЭйлеров циклЭйлеров путь, не циклни то, ни другое

Есть ли в связном графе эйлеров цикл, эйлеров путь, не являющийся циклом, или ни то ни другое? Нажмите на ваш ответ.

|V| = 5|E| = 6
  1. 1Эйлеров цикл
  2. 2Эйлеров путь, не цикл
  3. 3ни то, ни другое
6.Теория графовСложная
14131312121532108314ABCDEFG

Алгоритм Дейкстры запускается из A. Нажмите на вершину, которая фиксируется (становится постоянной) на шаге 6; сама A фиксируется на шаге 1.

начало: Aшаг 6
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: B · Среднюю стоимость одной операции в худшей последовательности операций

Почему это ответ

Амортизационный анализ распределяет стоимость редких дорогих операций на множество дешёвых, давая гарантированное среднее для любой последовательности.

Ответ

B · Среднюю стоимость одной операции в худшей последовательности операций
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: D · Свести известную NP-трудную задачу к X за полиномиальное время

Почему это ответ

Если известную трудную задачу можно эффективно преобразовать в X, то быстрый алгоритм для X решал бы и известную задачу.

Ответ

D · Свести известную NP-трудную задачу к X за полиномиальное время
3.Структуры данных

Ответ: D · Элементы массива расположены непрерывно, поэтому хорошо используют кэш процессора

Почему это ответ

Непрерывная память обеспечивает хорошую локальность обращений, а связанные узлы могут быть разбросаны и вызывать много промахов кэша.

Ответ

D · Элементы массива расположены непрерывно, поэтому хорошо используют кэш процессора
4.Структуры данных

Ответ: B · Прямой и симметричный (preorder и inorder)

Почему это ответ

Прямой обход даёт корень, а его позиция в симметричной последовательности разделяет левое и правое поддеревья; прямой обход вместе с обратным неоднозначен, когда у узла один потомок.

Ответ

B · Прямой и симметричный (preorder и inorder)
5.Теория графов

Ответ: Эйлеров цикл

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Степени

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Нечётные вершины

0
Эйлеров цикл

Ответ

Эйлеров цикл
6.Теория графов

Ответ: E

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстры по шагам

1. A (0): B: 14, C: 13
2. C (13): E: 25, G: 21
3. B (14): D: 26
4. G (21): D: 24
5. D (24): F: 27
6. E (25)
7. F (27)

шаг 6

E

Ответ

E

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms