Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Какова амортизированная временная сложность добавления элемента в конец динамического массива, который удваивает свою ёмкость при заполнении?

  1. AO(n)
  2. BO(log n)
  3. CO(n²)
  4. DO(1)
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Почему бинарный поиск не даёт времени O(log n) на односвязном списке?

  1. AСравнения узлов связного списка медленнее
  2. BСвязные списки нельзя сортировать
  3. CБинарному поиску нужно как минимум вдвое больше памяти
  4. DЧтобы добраться до среднего элемента, нужно O(n) шагов, поскольку нет прямого доступа по индексу
3.Структуры данныхСредняя

Симметричный обход (in-order) двоичного дерева поиска посещает ключи:

  1. AВсегда в порядке убывания
  2. BВ порядке вставки
  3. CПо уровням
  4. DВ порядке возрастания (отсортированно)
4.Структуры данныхСложная

Какая пара обходов всегда однозначно определяет двоичное дерево с различными ключами?

  1. AПрямой и симметричный (preorder и inorder)
  2. BОдин только прямой
  3. CПрямой и обратный (preorder и postorder)
  4. DОдин только обход по уровням
5.Теория графовСредняя
ABCDEЭйлеров циклЭйлеров путь, не циклни то, ни другое

Есть ли в связном графе эйлеров цикл, эйлеров путь, не являющийся циклом, или ни то ни другое? Нажмите на ваш ответ.

|V| = 5|E| = 5
  1. 1Эйлеров цикл
  2. 2Эйлеров путь, не цикл
  3. 3ни то, ни другое
6.Теория графовСложная
71131966ABCDEF

Алгоритм Дейкстры запускается из A. Нажмите на вершину, которая фиксируется (становится постоянной) на шаге 3; сама A фиксируется на шаге 1.

начало: Aшаг 3
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: D · O(1)

Почему это ответ

Копирование всех элементов происходит только на степенях двойки; если распределить эти затраты на все добавления, средняя стоимость одного добавления постоянна.

Ответ

D · O(1)
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: D · Чтобы добраться до среднего элемента, нужно O(n) шагов, поскольку нет прямого доступа по индексу

Почему это ответ

Бинарному поиску нужен доступ к середине за O(1); в связном списке путь туда стоит линейного времени, поэтому итог O(n).

Ответ

D · Чтобы добраться до среднего элемента, нужно O(n) шагов, поскольку нет прямого доступа по индексу
3.Структуры данных

Ответ: D · В порядке возрастания (отсортированно)

Почему это ответ

Посещение левого поддерева, затем узла, затем правого поддерева выводит ключи BST в отсортированном порядке.

Ответ

D · В порядке возрастания (отсортированно)
4.Структуры данных

Ответ: A · Прямой и симметричный (preorder и inorder)

Почему это ответ

Прямой обход даёт корень, а его позиция в симметричной последовательности разделяет левое и правое поддеревья; прямой обход вместе с обратным неоднозначен, когда у узла один потомок.

Ответ

A · Прямой и симметричный (preorder и inorder)
5.Теория графов

Ответ: Эйлеров путь, не цикл

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Степени

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Нечётные вершины

A, B → 2
Эйлеров путь, не цикл

Ответ

Эйлеров путь, не цикл

Эйлеров путь начинается в одной нечётной вершине и заканчивается в другой.

6.Теория графов

Ответ: B

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстры по шагам

1. A (0): B: 7, C: 1
2. C (1): B: 2, E: 4
3. B (2)
4. E (4): D: 5, F: 10
5. D (5)
6. F (10)

шаг 3

B

Ответ

B

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms