Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Что вычисляет алгоритм Флойда–Уоршелла и как быстро?

  1. AТопологический порядок за O(V²)
  2. BМинимальное остовное дерево за O(E log V)
  3. CКратчайшие пути между всеми парами вершин за O(V³)
  4. DКратчайшие пути из одной исходной вершины до всех остальных за O(V + E)
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Какая оценка для log(n!) верна?

  1. AΘ(n log n)
  2. BΘ(log n)
  3. CΘ(n²)
  4. DΘ(n)
3.Структуры данныхСредняя

Зачем нужен сторожевой (фиктивный, sentinel) узел в связном списке?

  1. AЧтобы список был отсортирован
  2. BЧтобы список не мог вырасти сверх фиксированного максимального числа узлов
  3. CЧтобы упростить код, убрав особые случаи в голове или хвосте
  4. DЧтобы хранить число элементов
4.Структуры данныхСложная

Дерево отрезков (segment tree) обычно используют для:

  1. AХранения рёбер графа
  2. BОтветов на запросы на диапазонах (например, суммы диапазонов) и обновлений за O(log n)
  3. CРеализации стека
  4. DСортировки строк по алфавиту путём хранения каждого префикса в отдельном узле дерева
5.Теория графовСредняя
ABCDEFGЭйлеров циклЭйлеров путь, не циклни то, ни другое

Есть ли в связном графе эйлеров цикл, эйлеров путь, не являющийся циклом, или ни то ни другое? Нажмите на ваш ответ.

|V| = 7|E| = 10
  1. 1Эйлеров цикл
  2. 2Эйлеров путь, не цикл
  3. 3ни то, ни другое
6.Теория графовСложная
81514235121ABCDEF

С помощью алгоритма Дейкстры найдите длину d(E) кратчайшего пути от A до E во взвешенном графе.

начало: Aконец: E
d(E) =

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: C · Кратчайшие пути между всеми парами вершин за O(V³)

Почему это ответ

Флойд–Уоршелл — алгоритм динамического программирования, который по очереди допускает каждую вершину как промежуточную точку и использует время O(V³).

Ответ

C · Кратчайшие пути между всеми парами вершин за O(V³)
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: A · Θ(n log n)

Почему это ответ

log(n!) ≤ n log n, а наибольшие n / 2 множителей дают log(n!) ≥ (n / 2) log(n / 2); поэтому сортировке сравнениями нужно Ω(n log n).

Ответ

A · Θ(n log n)
3.Структуры данных

Ответ: C · Чтобы упростить код, убрав особые случаи в голове или хвосте

Почему это ответ

Со сторожевым узлом у каждого реального узла есть предшественник, поэтому вставка или удаление в голове не требуют особой обработки.

Ответ

C · Чтобы упростить код, убрав особые случаи в голове или хвосте
4.Структуры данных

Ответ: B · Ответов на запросы на диапазонах (например, суммы диапазонов) и обновлений за O(log n)

Почему это ответ

Дерево отрезков хранит агрегаты для отрезков, поддерживая запросы на диапазонах и точечные обновления за время O(log n).

Ответ

B · Ответов на запросы на диапазонах (например, суммы диапазонов) и обновлений за O(log n)
5.Теория графов

Ответ: ни то, ни другое

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Степени

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 4, deg(D) = 4, deg(E) = 3, deg(F) = 1, deg(G) = 3

Нечётные вершины

B, E, F, G → 4
ни то, ни другое

Ответ

ни то, ни другое
6.Теория графов

Ответ: d(E) = 9

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстры по шагам

В каждой строке: зафиксированная вершина, её окончательное расстояние и соседи, у которых расстояние улучшается.

A (0): B: 8, C: 15
B (8): D: 22, E: 9
E (9): C: 11, D: 12, F: 21
C (11)
D (12): F: 17
F (17)

Кратчайший путь

A → B → E
d(E) = 9

Ответ

d(E) = 9

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms