Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Почему основание логарифма в O большом обычно не указывают, как в O(log n)?

  1. AЛогарифмы по разным основаниям отличаются лишь постоянным множителем
  2. BВсе логарифмы в информатике имеют основание 10, так что оно подразумевается
  3. CОснование имеет значение только при малых n
  4. DЛогарифмы всегда округляются до целых
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Задача является NP-полной, если она:

  1. AПринадлежит NP и любая задача из NP сводится к ней за полиномиальное время
  2. BРешается за полиномиальное время
  3. CНеразрешима
  4. DЛежит вне NP, но сложнее всех задач NP, как проблема остановки
3.Структуры данныхСредняя

Какую структуру данных использует выполняющаяся программа для отслеживания активных вызовов функций и их локальных переменных?

  1. AСтек вызовов
  2. BДвоичное дерево поиска кадров
  3. CОчередь памяти кучи
  4. DХеш-таблицу функций
4.Структуры данныхСложная

Что делает косое дерево (splay tree) после каждого обращения?

  1. AПерестраивает всё дерево в сбалансированном виде
  2. BПоворотами поднимает узел, к которому обращались, в корень
  3. CПерекрашивает узлы на пути поиска
  4. DПеремещает узел, к которому обращались, в лист
5.Теория графовСредняя
ABCDEFЭйлеров циклЭйлеров путь, не циклни то, ни другое

Есть ли в связном графе эйлеров цикл, эйлеров путь, не являющийся циклом, или ни то ни другое? Нажмите на ваш ответ.

|V| = 6|E| = 7
  1. 1Эйлеров цикл
  2. 2Эйлеров путь, не цикл
  3. 3ни то, ни другое
6.Теория графовСложная
911523651111ABCDEFG

С помощью алгоритма Дейкстры найдите длину d(F) кратчайшего пути от A до F во взвешенном графе.

начало: Aконец: F
d(F) =

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: A · Логарифмы по разным основаниям отличаются лишь постоянным множителем

Почему это ответ

Смена основания умножает логарифм на константу, а O большое игнорирует постоянные множители.

Ответ

A · Логарифмы по разным основаниям отличаются лишь постоянным множителем
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: A · Принадлежит NP и любая задача из NP сводится к ней за полиномиальное время

Почему это ответ

NP-полные задачи — самые сложные в NP; полиномиальный алгоритм для одной из них дал бы полиномиальный алгоритм для всего класса NP.

Ответ

A · Принадлежит NP и любая задача из NP сводится к ней за полиномиальное время
3.Структуры данных

Ответ: A · Стек вызовов

Почему это ответ

Каждый вызов помещает в стек кадр (push), а каждый возврат его извлекает (pop), поэтому самый последний вызов завершается первым.

Ответ

A · Стек вызовов
4.Структуры данных

Ответ: B · Поворотами поднимает узел, к которому обращались, в корень

Почему это ответ

Splay-операция поворотами перемещает узел, к которому обращались, в корень; одна операция может стоить O(n), но амортизированная стоимость — O(log n).

Ответ

B · Поворотами поднимает узел, к которому обращались, в корень
5.Теория графов

Ответ: Эйлеров цикл

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Степени

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 4, deg(F) = 2

Нечётные вершины

0
Эйлеров цикл

Ответ

Эйлеров цикл
6.Теория графов

Ответ: d(F) = 29

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстры по шагам

В каждой строке: зафиксированная вершина, её окончательное расстояние и соседи, у которых расстояние улучшается.

A (0): C: 9
C (9): E: 24
E (24): D: 26, F: 30, G: 35
D (26): B: 27, F: 29
B (27): G: 32
F (29)
G (32)

Кратчайший путь

A → C → E → D → F
d(F) = 29

Ответ

d(F) = 29

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms