Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Динамическое программирование полезно, когда у задачи есть:

  1. AТолько случайные входные данные
  2. BОдин цикл
  3. CВообще никаких подзадач, поэтому её можно решить за один шаг
  4. DПерекрывающиеся подзадачи и оптимальная подструктура
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Как соотносятся n! и 2ⁿ при больших n?

  1. An! растёт быстрее 2ⁿ
  2. BОни растут с одинаковой скоростью
  3. Cn! есть O(n²)
  4. D2ⁿ растёт быстрее n!
3.Структуры данныхСредняя

Какова временная сложность поиска ключа в сбалансированном двоичном дереве поиска?

  1. AO(log n)
  2. BO(n log n)
  3. CO(n)
  4. DO(1)
4.Структуры данныхСложная

Какую гарантию дают правила красно-чёрного дерева относительно высоты дерева с n ключами?

  1. AВысота равна ровно log2 n
  2. BВысота не превышает 2 log2(n + 1)
  3. CВысота не превышает log2 n + 1
  4. DВысота не превышает n / 2
5.Теория графовСредняя
ABCDEFGЭйлеров циклЭйлеров путь, не циклни то, ни другое

Есть ли в связном графе эйлеров цикл, эйлеров путь, не являющийся циклом, или ни то ни другое? Нажмите на ваш ответ.

|V| = 7|E| = 8
  1. 1Эйлеров цикл
  2. 2Эйлеров путь, не цикл
  3. 3ни то, ни другое
6.Теория графовСложная
1211136294ABCDEF

С помощью алгоритма Дейкстры найдите длину d(F) кратчайшего пути от A до F во взвешенном графе.

начало: Aконец: F
d(F) =

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: D · Перекрывающиеся подзадачи и оптимальная подструктура

Почему это ответ

Сохранение результатов перекрывающихся подзадач (мемоизация или табуляция) позволяет избежать повторной работы и превращает экспоненциальные алгоритмы в полиномиальные.

Ответ

D · Перекрывающиеся подзадачи и оптимальная подструктура
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: A · n! растёт быстрее 2ⁿ

Почему это ответ

При n ≥ 4 n! превышает 2ⁿ, и отношение растёт неограниченно, потому что каждый новый множитель n! больше 2.

Ответ

A · n! растёт быстрее 2ⁿ
3.Структуры данных

Ответ: A · O(log n)

Почему это ответ

Сбалансированное дерево имеет высоту около log₂ n, поэтому поиск проходит по одному пути от корня до листа.

Ответ

A · O(log n)
4.Структуры данных

Ответ: B · Высота не превышает 2 log2(n + 1)

Почему это ответ

На каждом пути одинаковое число чёрных узлов, а красные узлы не могут быть соседними, поэтому самый длинный путь не более чем вдвое длиннее самого короткого, что даёт высоту O(log n).

Ответ

B · Высота не превышает 2 log2(n + 1)
5.Теория графов

Ответ: ни то, ни другое

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Степени

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 2, deg(D) = 3, deg(E) = 2, deg(F) = 2, deg(G) = 3

Нечётные вершины

A, B, D, G → 4
ни то, ни другое

Ответ

ни то, ни другое
6.Теория графов

Ответ: d(F) = 12

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстры по шагам

В каждой строке: зафиксированная вершина, её окончательное расстояние и соседи, у которых расстояние улучшается.

A (0): B: 12, C: 1
C (1): E: 4
E (4): D: 10, F: 13, B: 8
B (8)
D (10): F: 12
F (12)

Кратчайший путь

A → C → E → D → F
d(F) = 12

Ответ

d(F) = 12

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms