Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Какое утверждение о рекурсивной функции без достижимого базового случая верно?

  1. AОна работает за время O(1)
  2. BКомпилятор всегда превращает её в цикл, который безопасно завершается
  3. CОна автоматически возвращает 0
  4. DОна продолжает вызывать себя, пока не переполнится стек вызовов
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Какое утверждение о выборе k-го наименьшего элемента неотсортированного массива верно?

  1. AQuickselect работает за O(log n) в худшем случае, потому что рекурсия идёт только в одну сторону от опорного элемента
  2. BВыбор всегда требует Ω(n log n), потому что нужна сортировка
  3. CQuickselect работает в среднем за O(n), а метод медианы медиан гарантирует O(n) в худшем случае
  4. DВыбор возможен только за O(n²)
3.Структуры данныхСредняя

В дорожной сети 100 000 перекрёстков, каждый соединён примерно с 4 другими. Какое представление подходит лучше всего?

  1. AОдин отсортированный массив вершин
  2. BДвоичная куча рёбер
  3. CМатрица смежности
  4. DСписки смежности
4.Структуры данныхСложная

Дерево отрезков (segment tree) обычно используют для:

  1. AОтветов на запросы на диапазонах (например, суммы диапазонов) и обновлений за O(log n)
  2. BРеализации стека
  3. CСортировки строк по алфавиту путём хранения каждого префикса в отдельном узле дерева
  4. DХранения рёбер графа
5.Теория графовСредняя

Сколько различных гамильтоновых циклов, H, в полном графе K5? Циклы, отличающиеся только начальной вершиной или направлением, считаются одним и тем же.

K5
H =
6.Теория графовСложная
91101112161758ABCDEFG

Найдите суммарный вес W минимального остовного дерева взвешенного графа.

|V| = 7|E| = 9
W =

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: D · Она продолжает вызывать себя, пока не переполнится стек вызовов

Почему это ответ

Без базового случая рекурсия никогда не останавливается; на практике память для кадров стека заканчивается, и программа аварийно завершается.

Ответ

D · Она продолжает вызывать себя, пока не переполнится стек вызовов
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: C · Quickselect работает в среднем за O(n), а метод медианы медиан гарантирует O(n) в худшем случае

Почему это ответ

Ожидаемая работа quickselect со случайными опорными элементами n + n/2 + n/4 + ... = O(n); выбор опорного элемента как медианы медиан делает худший случай линейным.

Ответ

C · Quickselect работает в среднем за O(n), а метод медианы медиан гарантирует O(n) в худшем случае
3.Структуры данных

Ответ: D · Списки смежности

Почему это ответ

Матрице понадобилось бы 1010 ячеек, почти все пустые; списки смежности хранят лишь около 400 000 записей о рёбрах.

Ответ

D · Списки смежности
4.Структуры данных

Ответ: A · Ответов на запросы на диапазонах (например, суммы диапазонов) и обновлений за O(log n)

Почему это ответ

Дерево отрезков хранит агрегаты для отрезков, поддерживая запросы на диапазонах и точечные обновления за время O(log n).

Ответ

A · Ответов на запросы на диапазонах (например, суммы диапазонов) и обновлений за O(log n)
5.Теория графов

Ответ: H = 12

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Посчитайте

H = (5 − 1)!/2 = 24/2 = 12

Ответ

H = 12
6.Теория графов

Ответ: W = 45

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Краскала

BC (1): берём
GD (5): берём
GE (8): берём
AB (9): берём
CE (10): берём
DE (11): пропускаем, замыкает цикл
DF (12): берём

Суммарный вес

W = 1 + 5 + 8 + 9 + 10 + 12 = 45

Ответ

W = 45

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms