Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Каково решение рекуррентного соотношения T(n) = 2T(n/2) + O(1)?

  1. AO(n log n)
  2. BO(log n)
  3. CO(n²)
  4. DO(n)
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Какое утверждение о выборе k-го наименьшего элемента неотсортированного массива верно?

  1. AQuickselect работает за O(log n) в худшем случае, потому что рекурсия идёт только в одну сторону от опорного элемента
  2. BВыбор возможен только за O(n²)
  3. CQuickselect работает в среднем за O(n), а метод медианы медиан гарантирует O(n) в худшем случае
  4. DВыбор всегда требует Ω(n log n), потому что нужна сортировка
3.Структуры данныхСредняя

Сколько памяти занимает матрица смежности графа с V вершинами?

  1. AO(log V)
  2. BO(V²)
  3. CO(E)
  4. DO(V + E)
4.Структуры данныхСложная

Фильтр Блума может ответить на вопрос «принадлежит ли этот элемент множеству?»:

  1. AВсегда точно
  2. BС возможными ложноположительными, но без ложноотрицательных результатов
  3. CТолько для чисел
  4. DС возможными ложноотрицательными, но без ложноположительных результатов
5.Теория графовСредняя

Связный граф имеет 20 вершин и 20 рёбер. Сколько рёбер, k, нужно удалить, чтобы осталось остовное дерево?

|V| = 20|E| = 20
k =
6.Теория графовСложная
816201521113ABCDEF

Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево. Нажмите на ребро, которое он добавляет под номером 5; пропущенные рёбра не считаются.

k = 5
  1. 1ребро AB
  2. 2ребро AC
  3. 3ребро BC
  4. 4ребро BD
  5. 5ребро CE
  6. 6ребро DE
  7. 7ребро EF
  8. 8ребро BE

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: D · O(n)

Почему это ответ

По основной теореме nlog₂ 2 = n доминирует над постоянной работой, поэтому T(n) = Θ(n), как при поиске максимума делением пополам.

Ответ

D · O(n)
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: C · Quickselect работает в среднем за O(n), а метод медианы медиан гарантирует O(n) в худшем случае

Почему это ответ

Ожидаемая работа quickselect со случайными опорными элементами n + n/2 + n/4 + ... = O(n); выбор опорного элемента как медианы медиан делает худший случай линейным.

Ответ

C · Quickselect работает в среднем за O(n), а метод медианы медиан гарантирует O(n) в худшем случае
3.Структуры данных

Ответ: B · O(V²)

Почему это ответ

Матрица смежности хранит V × V элементов, что эффективно для плотных графов; списки смежности занимают O(V + E) и лучше подходят для разреженных графов.

Ответ

B · O(V²)
4.Структуры данных

Ответ: B · С возможными ложноположительными, но без ложноотрицательных результатов

Почему это ответ

Если любой бит для элемента равен 0, элемента точно нет; если все равны 1, он, вероятно, есть. Фильтры Блума жертвуют точностью ради очень малого объёма памяти.

Ответ

B · С возможными ложноположительными, но без ложноотрицательных результатов
5.Теория графов

Ответ: k = 1

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Рёбра остовного дерева

20 − 1 = 19

Рёбра для удаления

k = 20 − 19 = 1

Ответ

k = 1
6.Теория графов

Ответ: ребро EF

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Краскала

1. BD (1)
2. DE (2)
3. CE (5)
4. AB (8)
5. EF (11)

номер ребра 5

EF

Ответ

ребро EF

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms