Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Какова временна́я сложность вычисления n-го числа Фибоначчи с помощью восходящей таблицы?

  1. AO(log n)
  2. BO(n)
  3. CO(n²)
  4. DO(2ⁿ)
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Сортировка вставками работает за O(n) на отсортированном входе. Противоречит ли это нижней оценке Ω(n log n) для сортировки сравнениями?

  1. AДа, значит, нижняя оценка неверна
  2. BДа, но только для массивов короче 100
  3. CНет, потому что сортировка вставками не является сортировкой сравнениями
  4. DНет, нижняя оценка относится к худшему случаю по всем входам, а не к каждому входу
3.Структуры данныхСредняя

Каков максимально возможный коэффициент заполнения хеш-таблицы с открытой адресацией?

  1. A2
  2. B1
  3. CМаксимума нет
  4. D0,5
4.Структуры данныхСложная

В чём главное преимущество списка с пропусками (skip list) перед отсортированным связным списком?

  1. AОн не использует дополнительной памяти
  2. BОжидаемый поиск за O(log n) благодаря нескольким уровням указателей вперёд
  3. CГарантированный поиск за O(1), потому что каждый узел хранит указатель на каждый другой узел
  4. DОн хранит ключи без упорядочения
5.Теория графовСредняя
ABCDEЭйлеров циклЭйлеров путь, не циклни то, ни другое

Есть ли в связном графе эйлеров цикл, эйлеров путь, не являющийся циклом, или ни то ни другое? Нажмите на ваш ответ.

|V| = 5|E| = 6
  1. 1Эйлеров цикл
  2. 2Эйлеров путь, не цикл
  3. 3ни то, ни другое
6.Теория графовСложная
155210187129314ABCDEFG

Найдите суммарный вес W минимального остовного дерева взвешенного графа.

|V| = 7|E| = 10
W =

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: B · O(n)

Почему это ответ

Заполнение таблицы от 0 до n требует одного сложения на элемент, поэтому работа линейна, а не экспоненциальна.

Ответ

B · O(n)
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: D · Нет, нижняя оценка относится к худшему случаю по всем входам, а не к каждому входу

Почему это ответ

Оценка утверждает, что любой сортировке сравнениями нужно около n log n сравнений на некотором входе размера n; особые входы могут обрабатываться гораздо быстрее.

Ответ

D · Нет, нижняя оценка относится к худшему случаю по всем входам, а не к каждому входу
3.Структуры данных

Ответ: B · 1

Почему это ответ

При открытой адресации все ключи хранятся в самой таблице, поэтому n не может превышать m; при методе цепочек коэффициент заполнения может быть больше 1.

Ответ

B · 1
4.Структуры данных

Ответ: B · Ожидаемый поиск за O(log n) благодаря нескольким уровням указателей вперёд

Почему это ответ

Случайные уровни позволяют поиску пропускать много узлов, что даёт ожидаемую сложность O(log n) для поиска, вставки и удаления.

Ответ

B · Ожидаемый поиск за O(log n) благодаря нескольким уровням указателей вперёд
5.Теория графов

Ответ: Эйлеров цикл

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Степени

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Нечётные вершины

0
Эйлеров цикл

Ответ

Эйлеров цикл
6.Теория графов

Ответ: W = 38

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Краскала

BC (2): берём
GD (3): берём
AC (5): берём
DF (7): берём
GC (9): берём
BD (10): пропускаем, замыкает цикл
EF (12): берём

Суммарный вес

W = 2 + 3 + 5 + 7 + 9 + 12 = 38

Ответ

W = 38

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms