Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях: Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Регулярный граф: |E| = n·k/2
Дерево и лес: |E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер: цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в K_n: (n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L: (Mᴸ)_ij

Метод

Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Вы один раз сортируете массив из n элементов, а затем отвечаете на k запросов о принадлежности бинарным поиском. Какова общая стоимость?

AO(n + k)
BO(nk)
CO(k n log n)
DO(n log n + k log n)

2.Алгоритмы и сложностьСложная

Умножение Карацубы удовлетворяет T(n) = 3T(n/2) + O(n). Каково решение?

AΘ(n^{log₂ 3}), примерно n^1,585
BΘ(n log n)
CΘ(n³)
DΘ(n²)

3.Структуры данныхСредняя

Что верно для матрицы смежности неориентированного графа?

AОна симметрична относительно главной диагонали
BВ каждой строке ровно одна 1
CОна всегда верхнетреугольная
DНа её главной диагонали всегда стоят единицы

4.Структуры данныхСложная

Каково время работы поиска в ширину на графе с V вершинами, хранящемся в виде матрицы смежности?

AO(E log V)
BO(V²)
CO(V)
DO(V + E)

5.Теория графовСредняя

У дерева 4 вершин степени 3, 3 вершин степени 4, 3 вершин степени 5, 2 вершин степени 2, а все остальные его вершины — листья (степень 1). Сколько у него листьев, L?

4 × deg 33 × deg 43 × deg 52 × deg 2

L =

6.Теория графовСложная

Алгоритм Дейкстры запускается из A. Нажмите на вершину, которая фиксируется (становится постоянной) на шаге 5; сама A фиксируется на шаге 1.

начало: Aшаг 5

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: D · O(n log n + k log n)

Почему это ответ

Сортировка стоит O(n log n), а каждый запрос — O(log n); при больших k это выгоднее k линейных просмотров (O(nk)).

Ответ

D · O(n log n + k log n)

2.Алгоритмы и сложность

Ответ: A · Θ(n^{log₂ 3}), примерно n^1,585

Почему это ответ

Поскольку log₂ 3 ≈ 1,585 > 1, по основной теореме доминируют листья, и это лучше школьного метода O(n²).

Ответ

A · Θ(n^{log₂ 3}), примерно n^1,585

3.Структуры данных

Ответ: A · Она симметрична относительно главной диагонали

Почему это ответ

В неориентированном графе ребро {u, v} означает, что установлены и M[u][v], и M[v][u], поэтому матрица равна своей транспонированной.

Ответ

A · Она симметрична относительно главной диагонали

4.Структуры данных

Ответ: B · O(V²)

Почему это ответ

Каждая из V вершин просматривает строку из V элементов, что даёт O(V²); со списками смежности BFS работает за O(V + E).

Ответ

B · O(V²)

5.Теория графов

Ответ: L = 21

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в K_n их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Лемма о рукопожатиях для дерева

L + 43 = 2(L + 12) − 2

L = 21

Ответ

L = 21

Короткий путь: L = 2 + Σ (d − 2) по вершинам степени d ≥ 3.

6.Теория графов

Ответ: G

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстры по шагам

1. A (0): B: 13, C: 15

2. B (13): D: 19

3. C (15): E: 16

4. E (16): F: 23, G: 18

5. G (18)

6. D (19)

7. F (23)

шаг 5

Ответ

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms