Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Сколько памяти стека использует простая рекурсивная функция факториала fact(n) = n × fact(n − 1)?

  1. AO(1)
  2. BO(log n)
  3. CO(n²)
  4. DO(n)
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Если взять оба конца каждого ребра максимального (по включению) паросочетания, получится вершинное покрытие. Насколько оно хорошее?

  1. AВсегда минимальное вершинное покрытие
  2. BНеизвестного качества по сравнению с оптимумом
  3. CНе более чем вдвое больше минимального вершинного покрытия
  4. DНе более чем в log n раз больше минимума
3.Структуры данныхСредняя

У вас есть ссылка на узел в середине списка. В каком списке его можно удалить за O(1)?

  1. AВ односвязном списке
  2. BВ двусвязном списке
  3. CВ отсортированном массиве
  4. DВ динамическом массиве
4.Структуры данныхСложная

Нужно хранить k наименьших значений из потока n чисел, используя O(k) памяти. Какой подход работает за время O(n log k)?

  1. AMax-куча размера k, корень которой заменяется, когда приходит меньшее значение
  2. BОтсортированный массив всех n значений
  3. CОчередь FIFO последних k значений
  4. DMin-куча, хранящая все n значений, из которой в конце извлекаются k наименьших
5.Теория графовСредняя
ABCDEFGЭйлеров циклЭйлеров путь, не циклни то, ни другое

Есть ли в связном графе эйлеров цикл, эйлеров путь, не являющийся циклом, или ни то ни другое? Нажмите на ваш ответ.

|V| = 7|E| = 9
  1. 1Эйлеров цикл
  2. 2Эйлеров путь, не цикл
  3. 3ни то, ни другое
6.Теория графовСложная
20161881421710ABCDEF

Найдите суммарный вес W минимального остовного дерева взвешенного графа.

|V| = 6|E| = 8
W =

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: D · O(n)

Почему это ответ

Глубина рекурсии — n вызовов до первого возврата, и каждому вызову нужен кадр стека, поэтому используется O(n) памяти.

Ответ

D · O(n)
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: C · Не более чем вдвое больше минимального вершинного покрытия

Почему это ответ

Рёбра паросочетания не имеют общих вершин, поэтому оптимуму нужна хотя бы одна вершина на ребро, а этот метод берёт две: это 2-приближение.

Ответ

C · Не более чем вдвое больше минимального вершинного покрытия
3.Структуры данных

Ответ: B · В двусвязном списке

Почему это ответ

Узел двусвязного списка знает своего предшественника, поэтому prev и next можно сразу перевязать; в односвязном списке предшественника приходится искать.

Ответ

B · В двусвязном списке
4.Структуры данных

Ответ: A · Max-куча размера k, корень которой заменяется, когда приходит меньшее значение

Почему это ответ

Корень max-кучи — наибольшее из хранимых значений; любое меньшее новое значение заменяет его за O(log k), поэтому куча всегда содержит k наименьших значений на данный момент.

Ответ

A · Max-куча размера k, корень которой заменяется, когда приходит меньшее значение
5.Теория графов

Ответ: ни то, ни другое

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Степени

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 4, deg(D) = 3, deg(E) = 1, deg(F) = 1, deg(G) = 3

Нечётные вершины

D, E, F, G → 4
ни то, ни другое

Ответ

ни то, ни другое
6.Теория графов

Ответ: W = 57

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Краскала

DE (2): берём
BD (8): берём
BE (10): пропускаем, замыкает цикл
CE (14): берём
AC (16): берём
EF (17): берём

Суммарный вес

W = 2 + 8 + 14 + 16 + 17 = 57

Ответ

W = 57

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms