Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Каково решение рекуррентного соотношения T(n) = T(n/2) + O(1)?

  1. AO(log n)
  2. BO(1)
  3. CO(n)
  4. DO(n log n)
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Принадлежит ли 22n классу O(2ⁿ)?

  1. AНет, потому что 22n растёт медленнее 2ⁿ
  2. BДа, потому что постоянные множители в показателе в O большом всегда игнорируются
  3. CНет, потому что 22n = 4ⁿ, а 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ растёт неограниченно
  4. DДа, потому что обе функции экспоненциальны
3.Структуры данныхСредняя

Приложению нужен быстрый поиск, а также вывод ключей в отсортированном порядке и запросы по диапазону. Какая структура подходит лучше всего?

  1. AСтек
  2. BСбалансированное двоичное дерево поиска
  3. CХеш-таблица
  4. DНеотсортированный связный список
4.Структуры данныхСложная

Для чего используется структура union-find в алгоритме Краскала построения минимального остовного дерева?

  1. AДля сортировки рёбер по весу
  2. BДля хранения текущего расстояния каждой вершины от источника во время обхода
  3. CДля проверки, соединены ли уже два конца ребра
  4. DДля выбора начальной вершины
5.Теория графовСредняя

Сколько различных гамильтоновых циклов, H, в полном графе K5? Циклы, отличающиеся только начальной вершиной или направлением, считаются одним и тем же.

K5
H =
6.Теория графовСложная
3151278752128ABCDEFG

С помощью алгоритма Дейкстры найдите длину d(F) кратчайшего пути от A до F во взвешенном графе.

начало: Aконец: F
d(F) =

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: A · O(log n)

Почему это ответ

Задача на каждом шаге уменьшается вдвое при постоянной работе на шаг, поэтому шагов около log₂ n.

Ответ

A · O(log n)
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: C · Нет, потому что 22n = 4ⁿ, а 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ растёт неограниченно

Почему это ответ

Константа, прибавленная к показателю, даёт постоянный множитель, а константа, умножающая показатель, меняет основание и скорость роста.

Ответ

C · Нет, потому что 22n = 4ⁿ, а 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ растёт неограниченно
3.Структуры данных

Ответ: B · Сбалансированное двоичное дерево поиска

Почему это ответ

Сбалансированное BST даёт поиск за O(log n) и хранит ключи упорядоченными, поэтому симметричный обход и запросы по диапазону просты; хеш-таблица разбрасывает ключи.

Ответ

B · Сбалансированное двоичное дерево поиска
4.Структуры данных

Ответ: C · Для проверки, соединены ли уже два конца ребра

Почему это ответ

Find показывает, лежат ли оба конца в одной компоненте; если нет, ребро добавляется, а union объединяет компоненты.

Ответ

C · Для проверки, соединены ли уже два конца ребра
5.Теория графов

Ответ: H = 12

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Посчитайте

H = (5 − 1)!/2 = 24/2 = 12

Ответ

H = 12
6.Теория графов

Ответ: d(F) = 18

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстры по шагам

В каждой строке: зафиксированная вершина, её окончательное расстояние и соседи, у которых расстояние улучшается.

A (0): B: 3
B (3): C: 18, D: 15, G: 5
G (5): C: 17, E: 13
E (13): F: 18
D (15)
C (17)
F (18)

Кратчайший путь

A → B → G → E → F
d(F) = 18

Ответ

d(F) = 18

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms