Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Какой алгоритм находит кратчайшие пути из одного источника в графе с неотрицательными весами рёбер?

  1. AВо всех случаях требуется алгоритм Беллмана–Форда
  2. BАлгоритм Дейкстры
  3. CАлгоритм Краскала
  4. DПоиск в глубину (DFS)
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Как алгоритм Беллмана–Форда обнаруживает цикл отрицательного веса, достижимый из источника?

  1. AОн подсчитывает циклы поиском в глубину
  2. BПосле V − 1 раундов он проверяет, можно ли ещё релаксировать какое-либо ребро
  3. CОн дважды запускает алгоритм Дейкстры и сравнивает два полученных результата расстояний
  4. DОн проверяет, есть ли ребро с отрицательным весом
3.Структуры данныхСредняя

Как работает extract-min в двоичной min-куче?

  1. AПоследний элемент перемещают в корень и опускают вниз (sift down)
  2. BУдаляют последний элемент массива
  3. CУдаляют корень и сдвигают все элементы на одну позицию влево
  4. DИщут новый минимум среди всех листьев
4.Структуры данныхСложная

Ключи 5, 3, 8, 1 вставляются в таком порядке в пустую двоичную min-кучу на массиве. Каков итоговый массив?

  1. A[1, 5, 8, 3]
  2. B[1, 3, 8, 5]
  3. C[3, 1, 8, 5]
  4. D[1, 3, 5, 8]
5.Теория графовСредняя

Связный граф имеет 9 вершин и 14 рёбер. Сколько рёбер, k, нужно удалить, чтобы осталось остовное дерево?

|V| = 9|E| = 14
k =
6.Теория графовСложная
15113153139315ABCDEF

С помощью алгоритма Дейкстры найдите длину d(F) кратчайшего пути от A до F во взвешенном графе.

начало: Aконец: F
d(F) =

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: B · Алгоритм Дейкстры

Почему это ответ

Алгоритм Дейкстры работает с неотрицательными весами; алгоритм Беллмана–Форда допускает отрицательные веса; алгоритм Краскала строит минимальные остовные деревья.

Ответ

B · Алгоритм Дейкстры
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: B · После V − 1 раундов он проверяет, можно ли ещё релаксировать какое-либо ребро

Почему это ответ

Все истинные кратчайшие расстояния находятся за V − 1 раундов; если ребро ещё можно улучшить, значит, существует отрицательный цикл.

Ответ

B · После V − 1 раундов он проверяет, можно ли ещё релаксировать какое-либо ребро
3.Структуры данных

Ответ: A · Последний элемент перемещают в корень и опускают вниз (sift down)

Почему это ответ

Последний элемент заполняет «дыру» в корне и меняется местами с меньшим потомком, пока не выполнится свойство кучи; это занимает O(log n).

Ответ

A · Последний элемент перемещают в корень и опускают вниз (sift down)
4.Структуры данных

Ответ: B · [1, 3, 8, 5]

Почему это ответ

После 5, 3, 8 массив равен [3, 5, 8]; 1 попадает в индекс 3, меняется местами с родителем 5, а затем с 3, что даёт [1, 3, 8, 5].

Ответ

B · [1, 3, 8, 5]
5.Теория графов

Ответ: k = 6

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Рёбра остовного дерева

9 − 1 = 8

Рёбра для удаления

k = 14 − 8 = 6

Ответ

k = 6
6.Теория графов

Ответ: d(F) = 17

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстры по шагам

В каждой строке: зафиксированная вершина, её окончательное расстояние и соседи, у которых расстояние улучшается.

A (0): B: 15, C: 11
C (11): B: 14, E: 14
B (14): D: 29
E (14): D: 27, F: 17
F (17): D: 26
D (26)

Кратчайший путь

A → C → E → F
d(F) = 17

Ответ

d(F) = 17

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms