Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Каково решение рекуррентного соотношения T(n) = 2T(n − 1) + O(1)?

  1. AO(n)
  2. BO(n log n)
  3. CO(2ⁿ)
  4. DO(n²)
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Проблема остановки показывает, что:

  1. AЦиклов следует избегать
  2. BКаждая программа в конце концов останавливается
  3. CНекоторые программы работают быстрее на более быстрых компьютерах, поэтому остановка зависит от оборудования
  4. DНикакой алгоритм не может для каждой программы и входных данных определить, остановится ли она
3.Структуры данныхСредняя

Кольцевой буфер (ring buffer) обычно используют для реализации:

  1. AДвоичного дерева поиска
  2. BОбхода графа
  3. CХеш-функции
  4. DОчереди фиксированного размера
4.Структуры данныхСложная

Фильтр Блума может ответить на вопрос «принадлежит ли этот элемент множеству?»:

  1. AТолько для чисел
  2. BВсегда точно
  3. CС возможными ложноположительными, но без ложноотрицательных результатов
  4. DС возможными ложноотрицательными, но без ложноположительных результатов
5.Теория графовСредняя
ABCDEFЭйлеров циклЭйлеров путь, не циклни то, ни другое

Есть ли в связном графе эйлеров цикл, эйлеров путь, не являющийся циклом, или ни то ни другое? Нажмите на ваш ответ.

|V| = 6|E| = 6
  1. 1Эйлеров цикл
  2. 2Эйлеров путь, не цикл
  3. 3ни то, ни другое
6.Теория графовСложная
ABCDEF

Сколько существует маршрутов длины 2 из D в C? Маршрут может повторять вершины и рёбра. Обозначим это число N.

M = матрица смежностиL = 2
N =

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: C · O(2ⁿ)

Почему это ответ

Число вызовов удваивается на каждом уровне, а уровней n, поэтому итого около 2ⁿ, как в задаче о Ханойских башнях.

Ответ

C · O(2ⁿ)
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: D · Никакой алгоритм не может для каждой программы и входных данных определить, остановится ли она

Почему это ответ

Тьюринг показал, что проблема остановки неразрешима: предположение о существовании разрешающего алгоритма приводит к противоречию с программой, которая поступает наоборот.

Ответ

D · Никакой алгоритм не может для каждой программы и входных данных определить, остановится ли она
3.Структуры данных

Ответ: D · Очереди фиксированного размера

Почему это ответ

Кольцевой буфер использует индексы head и tail, которые циклически переходят в начало, обеспечивая enqueue и dequeue за O(1) в фиксированном объёме памяти.

Ответ

D · Очереди фиксированного размера
4.Структуры данных

Ответ: C · С возможными ложноположительными, но без ложноотрицательных результатов

Почему это ответ

Если любой бит для элемента равен 0, элемента точно нет; если все равны 1, он, вероятно, есть. Фильтры Блума жертвуют точностью ради очень малого объёма памяти.

Ответ

C · С возможными ложноположительными, но без ложноотрицательных результатов
5.Теория графов

Ответ: Эйлеров путь, не цикл

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Степени

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 3, deg(F) = 1

Нечётные вершины

E, F → 2
Эйлеров путь, не цикл

Ответ

Эйлеров путь, не цикл

Эйлеров путь начинается в одной нечётной вершине и заканчивается в другой.

6.Теория графов

Ответ: N = 2

Степени: степень вершины — это число рёбер, которые в ней сходятся. У каждого ребра два конца, поэтому степени в сумме дают удвоенное число рёбер: Σ deg(v) = 2|E| (лемма о рукопожатиях). Следовательно, число вершин нечётной степени чётно. У Kn имеется n(n − 1)/2 рёбер, у k-регулярного графа на n вершинах nk/2, а у дерева на n вершинах n − 1 ребро.

Матрица смежности

A: 0 0 1 0 0 0
B: 0 0 1 1 1 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 1 1
E: 0 1 1 1 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

Общие соседи

(M²)DC = 0·1 + 1·1 + 0·0 + 0·0 + 1·1 + 1·0 = 2

Ответ

N = 2

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms