Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Какова временна́я сложность вычисления n-го числа Фибоначчи с помощью восходящей таблицы?

  1. AO(n²)
  2. BO(n)
  3. CO(log n)
  4. DO(2ⁿ)
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Какие две вещи нужно показать, чтобы доказать NP-полноту задачи распознавания X?

  1. AX лежит в P, и X сводится к SAT
  2. BX лежит в NP, и известная NP-полная задача сводится к X за полиномиальное время
  3. CX сводится к задаче из P, и X лежит в NP
  4. DУ X нет полиномиального алгоритма, и X разрешима
3.Структуры данныхСредняя

У двоичного дерева корень 1 с левым потомком 2 и правым потомком 3; у узла 2 потомки 4 (левый) и 5 (правый). Каков обратный обход (postorder)?

  1. A1 2 4 5 3
  2. B4 2 5 1 3
  3. C4 5 2 3 1
  4. D5 4 3 2 1
4.Структуры данныхСложная

Вставка ключа в АВЛ-дерево делает левое поддерево узла слишком высоким, причём новый ключ попал в левое поддерево его левого потомка (случай левый–левый). Какое исправление применяется?

  1. AЛевый поворот в потомке, затем правый поворот в узле
  2. BОдиночный правый поворот в несбалансированном узле
  3. CОдиночный левый поворот в несбалансированном узле
  4. DПерекрашивание узла и его потомка
5.Теория графовСредняя
ABCDEFЭйлеров циклЭйлеров путь, не циклни то, ни другое

Есть ли в связном графе эйлеров цикл, эйлеров путь, не являющийся циклом, или ни то ни другое? Нажмите на ваш ответ.

|V| = 6|E| = 6
  1. 1Эйлеров цикл
  2. 2Эйлеров путь, не цикл
  3. 3ни то, ни другое
6.Теория графовСложная
57993151181191ABCDEFG

С помощью алгоритма Дейкстры найдите длину d(F) кратчайшего пути от A до F во взвешенном графе.

начало: Aконец: F
d(F) =

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: B · O(n)

Почему это ответ

Заполнение таблицы от 0 до n требует одного сложения на элемент, поэтому работа линейна, а не экспоненциальна.

Ответ

B · O(n)
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: B · X лежит в NP, и известная NP-полная задача сводится к X за полиномиальное время

Почему это ответ

Принадлежность к NP показывает, что X не сложнее NP; сведение известной NP-полной задачи показывает, что X не легче всего класса NP.

Ответ

B · X лежит в NP, и известная NP-полная задача сводится к X за полиномиальное время
3.Структуры данных

Ответ: C · 4 5 2 3 1

Почему это ответ

Обратный обход обрабатывает 4 и 5 до 2, затем 3 и наконец корень 1.

Ответ

C · 4 5 2 3 1
4.Структуры данных

Ответ: B · Одиночный правый поворот в несбалансированном узле

Почему это ответ

В случае левый–левый один правый поворот поднимает левого потомка вверх и восстанавливает баланс; случаи зигзага требуют двойного поворота.

Ответ

B · Одиночный правый поворот в несбалансированном узле
5.Теория графов

Ответ: Эйлеров путь, не цикл

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Степени

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 3, deg(F) = 1

Нечётные вершины

E, F → 2
Эйлеров путь, не цикл

Ответ

Эйлеров путь, не цикл

Эйлеров путь начинается в одной нечётной вершине и заканчивается в другой.

6.Теория графов

Ответ: d(F) = 18

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстры по шагам

В каждой строке: зафиксированная вершина, её окончательное расстояние и соседи, у которых расстояние улучшается.

A (0): B: 5, C: 7
B (5): D: 14, G: 16
C (7): E: 10
E (10): F: 18, G: 11
G (11)
D (14)
F (18)

Кратчайший путь

A → C → E → F
d(F) = 18

Ответ

d(F) = 18

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms