Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Поиск в ширину в невзвешенном графе находит:

  1. AМинимальное остовное дерево
  2. BКратчайшие пути (по числу рёбер) от начальной вершины
  3. CКратчайшие пути в графах, содержащих рёбра с отрицательными весами
  4. DТопологический порядок в любом графе
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Каково решение рекуррентного соотношения T(n) = 2T(n/2) + n log n?

  1. AΘ(n)
  2. BΘ(n log n)
  3. CΘ(n log² n)
  4. DΘ(n²)
3.Структуры данныхСредняя

В двоичной min-куче, хранящейся в массиве (индексация с 0), потомки узла с индексом i находятся на позициях:

  1. A2i + 1 и 2i + 2
  2. Bi/2 и i/2 + 1
  3. C2i и 2i + 1
  4. Di + 1 и i + 2
4.Структуры данныхСложная

Что делает косое дерево (splay tree) после каждого обращения?

  1. AПерекрашивает узлы на пути поиска
  2. BПеремещает узел, к которому обращались, в лист
  3. CПоворотами поднимает узел, к которому обращались, в корень
  4. DПерестраивает всё дерево в сбалансированном виде
5.Теория графовСредняя

У дерева 4 вершин степени 3, 2 вершин степени 5, а все остальные его вершины — листья (степень 1). Сколько у него листьев, L?

4 × deg 32 × deg 5
L =
6.Теория графовСложная
82143971117ABCDEF

Алгоритм Прима строит минимальное остовное дерево, начиная с вершины F. Нажмите на ребро, которое он добавляет под номером 2.

начало: Fk = 2
  1. 1ребро AB
  2. 2ребро AC
  3. 3ребро BC
  4. 4ребро BD
  5. 5ребро CE
  6. 6ребро DF
  7. 7ребро EF
  8. 8ребро BE

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: B · Кратчайшие пути (по числу рёбер) от начальной вершины

Почему это ответ

BFS посещает вершины в порядке расстояния (в рёбрах) от источника, поэтому находит кратчайшие пути в невзвешенном графе за O(V + E).

Ответ

B · Кратчайшие пути (по числу рёбер) от начальной вершины
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: C · Θ(n log² n)

Почему это ответ

Уровень k выполняет около n log(n / 2ᵏ) работы, и суммирование по log n уровням даёт Θ(n log² n) — расширенный второй случай основной теоремы.

Ответ

C · Θ(n log² n)
3.Структуры данных

Ответ: A · 2i + 1 и 2i + 2

Почему это ответ

В массивах с индексацией от 0 левый потомок находится в 2i + 1, правый — в 2i + 2, а родитель — в ⌊(i − 1)/2⌋.

Ответ

A · 2i + 1 и 2i + 2
4.Структуры данных

Ответ: C · Поворотами поднимает узел, к которому обращались, в корень

Почему это ответ

Splay-операция поворотами перемещает узел, к которому обращались, в корень; одна операция может стоить O(n), но амортизированная стоимость — O(log n).

Ответ

C · Поворотами поднимает узел, к которому обращались, в корень
5.Теория графов

Ответ: L = 12

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Лемма о рукопожатиях для дерева

L + 22 = 2(L + 6) − 2
L = 12

Ответ

L = 12

Короткий путь: L = 2 + Σ (d − 2) по вершинам степени d ≥ 3.

6.Теория графов

Ответ: ребро BD

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Прима

1. DF (7)
2. BD (3)
3. AB (8)
4. AC (2)
5. CE (9)

номер ребра 2

BD

Ответ

ребро BD

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms