Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Функция выполняет один цикл из n итераций, а затем, отдельно, ещё один цикл из n итераций. Какова её временна́я сложность?

  1. AO(2ⁿ)
  2. BO(n²)
  3. CO(n)
  4. DO(log n)
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Каковы затраты времени и памяти при вычислении n-го числа Фибоначчи циклом, хранящим только два последних значения?

  1. AO(2ⁿ) времени и O(1) памяти
  2. BO(n) времени и O(n) памяти
  3. CO(n) времени и O(1) памяти
  4. DO(log n) времени и O(n) памяти
3.Структуры данныхСредняя

У двоичного дерева корень 1 с левым потомком 2 и правым потомком 3; у узла 2 потомки 4 (левый) и 5 (правый). Каков прямой обход (preorder)?

  1. A1 2 3 4 5
  2. B4 2 5 1 3
  3. C1 2 4 5 3
  4. D4 5 2 3 1
4.Структуры данныхСложная

Нужно хранить k наименьших значений из потока n чисел, используя O(k) памяти. Какой подход работает за время O(n log k)?

  1. AОтсортированный массив всех n значений
  2. BMax-куча размера k, корень которой заменяется, когда приходит меньшее значение
  3. CMin-куча, хранящая все n значений, из которой в конце извлекаются k наименьших
  4. DОчередь FIFO последних k значений
5.Теория графовСредняя

Сколько различных гамильтоновых циклов, H, в полном графе K6? Циклы, отличающиеся только начальной вершиной или направлением, считаются одним и тем же.

K6
H =
6.Теория графовСложная
ABCDEF

Сколько существует маршрутов длины 2 из A в E? Маршрут может повторять вершины и рёбра. Обозначим это число N.

M = матрица смежностиL = 2
N =

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: C · O(n)

Почему это ответ

n + n = 2n, а постоянные множители отбрасываются, поэтому функция есть O(n).

Ответ

C · O(n)
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: C · O(n) времени и O(1) памяти

Почему это ответ

Каждому шагу нужны лишь два предыдущих значения, поэтому таблицу восходящего метода можно заменить двумя переменными.

Ответ

C · O(n) времени и O(1) памяти
3.Структуры данных

Ответ: C · 1 2 4 5 3

Почему это ответ

Прямой обход посещает 1, затем его левое поддерево (2, 4, 5), затем 3; остальные варианты — симметричный, обратный обход и обход по уровням.

Ответ

C · 1 2 4 5 3
4.Структуры данных

Ответ: B · Max-куча размера k, корень которой заменяется, когда приходит меньшее значение

Почему это ответ

Корень max-кучи — наибольшее из хранимых значений; любое меньшее новое значение заменяет его за O(log k), поэтому куча всегда содержит k наименьших значений на данный момент.

Ответ

B · Max-куча размера k, корень которой заменяется, когда приходит меньшее значение
5.Теория графов

Ответ: H = 60

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Посчитайте

H = (6 − 1)!/2 = 120/2 = 60

Ответ

H = 60
6.Теория графов

Ответ: N = 1

Степени: степень вершины — это число рёбер, которые в ней сходятся. У каждого ребра два конца, поэтому степени в сумме дают удвоенное число рёбер: Σ deg(v) = 2|E| (лемма о рукопожатиях). Следовательно, число вершин нечётной степени чётно. У Kn имеется n(n − 1)/2 рёбер, у k-регулярного графа на n вершинах nk/2, а у дерева на n вершинах n − 1 ребро.

Матрица смежности

A: 0 1 0 0 0 0
B: 1 0 1 1 1 0
C: 0 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 1 1
E: 0 1 1 1 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

Общие соседи

(M²)AE = 0·0 + 1·1 + 0·1 + 0·1 + 0·0 + 0·1 = 1

Ответ

N = 1

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms