Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Каково решение рекуррентного соотношения T(n) = 2T(n − 1) + O(1)?

  1. AO(n log n)
  2. BO(n)
  3. CO(2ⁿ)
  4. DO(n²)
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Какое утверждение об o-нотации (o малое) верно?

  1. A2n = o(n), потому что 2n растёт медленно
  2. Bn = o(n²), но n не является o(n)
  3. Cn² = o(n)
  4. Dn = o(n), поскольку каждая функция есть o малое от самой себя
3.Структуры данныхСредняя

В дорожной сети 100 000 перекрёстков, каждый соединён примерно с 4 другими. Какое представление подходит лучше всего?

  1. AМатрица смежности
  2. BОдин отсортированный массив вершин
  3. CДвоичная куча рёбер
  4. DСписки смежности
4.Структуры данныхСложная

Динамический массив удваивается при заполнении. Почему многие реализации уменьшают его, только когда он заполнен на четверть, а не наполовину?

  1. AЧтобы массив оставался отсортированным
  2. BПотому что уменьшение вдвое при половинном заполнении привело бы к потере элементов
  3. CЧтобы избежать повторных изменений размера, когда push и pop чередуются вблизи границы
  4. DПотому что распределитель памяти может освобождать память только четвертями блока
5.Теория графовСредняя

У дерева 2 вершин степени 3, 4 вершин степени 4, 4 вершин степени 5, а все остальные его вершины — листья (степень 1). Сколько у него листьев, L?

2 × deg 34 × deg 44 × deg 5
L =
6.Теория графовСложная
ABCDEF

Сколько существует замкнутых маршрутов длины 2, начинающихся и заканчивающихся в A? Маршрут может повторять вершины и рёбра. Обозначим это число N.

M = матрица смежностиL = 2
N =

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: C · O(2ⁿ)

Почему это ответ

Число вызовов удваивается на каждом уровне, а уровней n, поэтому итого около 2ⁿ, как в задаче о Ханойских башнях.

Ответ

C · O(2ⁿ)
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: B · n = o(n²), но n не является o(n)

Почему это ответ

f = o(g) означает, что f(n) / g(n) стремится к 0; n / n² стремится к 0, а n / n = 1 — нет.

Ответ

B · n = o(n²), но n не является o(n)
3.Структуры данных

Ответ: D · Списки смежности

Почему это ответ

Матрице понадобилось бы 1010 ячеек, почти все пустые; списки смежности хранят лишь около 400 000 записей о рёбрах.

Ответ

D · Списки смежности
4.Структуры данных

Ответ: C · Чтобы избежать повторных изменений размера, когда push и pop чередуются вблизи границы

Почему это ответ

Уменьшение при половинном заполнении в такой последовательности могло бы вызывать изменение размера на каждой операции; промежуток между 1/4 и полным заполнением сохраняет амортизированную стоимость O(1).

Ответ

C · Чтобы избежать повторных изменений размера, когда push и pop чередуются вблизи границы
5.Теория графов

Ответ: L = 24

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Лемма о рукопожатиях для дерева

L + 42 = 2(L + 10) − 2
L = 24

Ответ

L = 24

Короткий путь: L = 2 + Σ (d − 2) по вершинам степени d ≥ 3.

6.Теория графов

Ответ: N = 2

Степени: степень вершины — это число рёбер, которые в ней сходятся. У каждого ребра два конца, поэтому степени в сумме дают удвоенное число рёбер: Σ deg(v) = 2|E| (лемма о рукопожатиях). Следовательно, число вершин нечётной степени чётно. У Kn имеется n(n − 1)/2 рёбер, у k-регулярного графа на n вершинах nk/2, а у дерева на n вершинах n − 1 ребро.

Матрица смежности

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 1 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 1 1
E: 0 1 1 1 0 0
F: 0 0 0 1 0 0

Общие соседи

(M²)AA = 0·0 + 1·1 + 1·1 + 0·0 + 0·0 + 0·0 = 2

Ответ

N = 2

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms