Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Решением рекуррентного соотношения T(n) = 2T(n/2) + O(n) является:

  1. AO(log n)
  2. BO(n)
  3. CO(n log n)
  4. DO(n²)
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Для какого варианта задачи о рюкзаке жадное правило «брать предметы в порядке ценности на единицу веса» всегда даёт оптимальный ответ?

  1. AДля обоих вариантов
  2. BДля непрерывного (дробного) рюкзака, где предметы можно делить
  3. CНи для одного варианта
  4. DДля рюкзака 0/1, где предметы всегда нужно брать целиком
3.Структуры данныхСредняя

Чему равно значение постфиксного выражения 3 4 + 2 * ?

  1. A14
  2. B10
  3. C11
  4. D24
4.Структуры данныхСложная

Какова стоимость одной операции find в худшем случае в структуре union-find с n элементами без объединения по рангу и сжатия путей?

  1. AO(n)
  2. BO(α(n))
  3. CO(log n)
  4. DO(1)
5.Теория графовСредняя
ABCDEFGЭйлеров циклЭйлеров путь, не циклни то, ни другое

Есть ли в связном графе эйлеров цикл, эйлеров путь, не являющийся циклом, или ни то ни другое? Нажмите на ваш ответ.

|V| = 7|E| = 9
  1. 1Эйлеров цикл
  2. 2Эйлеров путь, не цикл
  3. 3ни то, ни другое
6.Теория графовСложная
25143171315ABCDE

Алгоритм Прима строит минимальное остовное дерево, начиная с вершины E. Нажмите на ребро, которое он добавляет под номером 3.

начало: Ek = 3
  1. 1ребро AB
  2. 2ребро AC
  3. 3ребро BC
  4. 4ребро BD
  5. 5ребро CE
  6. 6ребро DE
  7. 7ребро BE

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: C · O(n log n)

Почему это ответ

По основной теореме о рекуррентных соотношениях (master theorem) при a = 2, b = 2, f(n) = n получаем T(n) = Θ(n log n).

Ответ

C · O(n log n)
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: B · Для непрерывного (дробного) рюкзака, где предметы можно делить

Почему это ответ

Когда предметы можно делить, выбор по лучшему отношению оптимален; в рюкзаке 0/1 предмет с высоким отношением может помешать лучшей комбинации, поэтому нужно динамическое программирование.

Ответ

B · Для непрерывного (дробного) рюкзака, где предметы можно делить
3.Структуры данных

Ответ: A · 14

Почему это ответ

Помещаем 3 и 4, + даёт 7; помещаем 2, * даёт 7 × 2 = 14.

Ответ

A · 14
4.Структуры данных

Ответ: A · O(n)

Почему это ответ

Наивные объединения могут связать деревья в длинную цепочку, и find придётся пройти n − 1 указателей на родителя; две эвристики приближают стоимость к константе.

Ответ

A · O(n)
5.Теория графов

Ответ: Эйлеров путь, не цикл

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Степени

deg(A) = 1, deg(B) = 2, deg(C) = 4, deg(D) = 3, deg(E) = 4, deg(F) = 2, deg(G) = 2

Нечётные вершины

A, D → 2
Эйлеров путь, не цикл

Ответ

Эйлеров путь, не цикл

Эйлеров путь начинается в одной нечётной вершине и заканчивается в другой.

6.Теория графов

Ответ: ребро AB

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Прима

1. DE (13)
2. BD (3)
3. AB (2)
4. AC (5)

номер ребра 3

AB

Ответ

ребро AB

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms