Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

В отсортированном массиве вы ищете два элемента с заданной суммой, двигая по одному указателю с каждого конца внутрь. Какова временна́я сложность?

  1. AO(n log n)
  2. BO(log n)
  3. CO(n²)
  4. DO(n)
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Какое утверждение о выборе k-го наименьшего элемента неотсортированного массива верно?

  1. AQuickselect работает в среднем за O(n), а метод медианы медиан гарантирует O(n) в худшем случае
  2. BQuickselect работает за O(log n) в худшем случае, потому что рекурсия идёт только в одну сторону от опорного элемента
  3. CВыбор возможен только за O(n²)
  4. DВыбор всегда требует Ω(n log n), потому что нужна сортировка
3.Структуры данныхСредняя

У вас есть ссылка на узел в середине списка. В каком списке его можно удалить за O(1)?

  1. AВ двусвязном списке
  2. BВ динамическом массиве
  3. CВ отсортированном массиве
  4. DВ односвязном списке
4.Структуры данныхСложная

Какова стоимость одной операции find в худшем случае в структуре union-find с n элементами без объединения по рангу и сжатия путей?

  1. AO(α(n))
  2. BO(log n)
  3. CO(1)
  4. DO(n)
5.Теория графовСредняя
ABCDEFЭйлеров циклЭйлеров путь, не циклни то, ни другое

Есть ли в связном графе эйлеров цикл, эйлеров путь, не являющийся циклом, или ни то ни другое? Нажмите на ваш ответ.

|V| = 6|E| = 6
  1. 1Эйлеров цикл
  2. 2Эйлеров путь, не цикл
  3. 3ни то, ни другое
6.Теория графовСложная
961155645715ABCDEFG

С помощью алгоритма Дейкстры найдите длину d(F) кратчайшего пути от A до F во взвешенном графе.

начало: Aконец: F
d(F) =

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: D · O(n)

Почему это ответ

Если сумма слишком мала, левый указатель сдвигается вправо, если слишком велика — правый влево, поэтому шагов не больше n.

Ответ

D · O(n)
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: A · Quickselect работает в среднем за O(n), а метод медианы медиан гарантирует O(n) в худшем случае

Почему это ответ

Ожидаемая работа quickselect со случайными опорными элементами n + n/2 + n/4 + ... = O(n); выбор опорного элемента как медианы медиан делает худший случай линейным.

Ответ

A · Quickselect работает в среднем за O(n), а метод медианы медиан гарантирует O(n) в худшем случае
3.Структуры данных

Ответ: A · В двусвязном списке

Почему это ответ

Узел двусвязного списка знает своего предшественника, поэтому prev и next можно сразу перевязать; в односвязном списке предшественника приходится искать.

Ответ

A · В двусвязном списке
4.Структуры данных

Ответ: D · O(n)

Почему это ответ

Наивные объединения могут связать деревья в длинную цепочку, и find придётся пройти n − 1 указателей на родителя; две эвристики приближают стоимость к константе.

Ответ

D · O(n)
5.Теория графов

Ответ: Эйлеров цикл

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Степени

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2, deg(F) = 2

Нечётные вершины

0
Эйлеров цикл

Ответ

Эйлеров цикл
6.Теория графов

Ответ: d(F) = 15

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстры по шагам

В каждой строке: зафиксированная вершина, её окончательное расстояние и соседи, у которых расстояние улучшается.

A (0): B: 9, C: 6
C (6): B: 7, E: 11, G: 13
B (7): D: 22, G: 12
E (11): D: 17, F: 15
G (12)
F (15)
D (17)

Кратчайший путь

A → C → E → F
d(F) = 15

Ответ

d(F) = 15

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms