Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

При монетах 1, 3 и 4 и сумме 6 сколько монет использует жадный метод «сначала самая крупная монета» по сравнению с оптимумом?

  1. AЖадный метод использует 3 монеты; оптимум — 3
  2. BЖадный метод использует 2 монеты; оптимум — 2
  3. CЖадный метод использует 4 монеты; оптимум — 3
  4. DЖадный метод использует 3 монеты; оптимум — 2
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Задача является NP-полной, если она:

  1. AПринадлежит NP и любая задача из NP сводится к ней за полиномиальное время
  2. BРешается за полиномиальное время
  3. CНеразрешима
  4. DЛежит вне NP, но сложнее всех задач NP, как проблема остановки
3.Структуры данныхСредняя

У вас есть ссылка на узел в середине списка. В каком списке его можно удалить за O(1)?

  1. AВ двусвязном списке
  2. BВ отсортированном массиве
  3. CВ односвязном списке
  4. DВ динамическом массиве
4.Структуры данныхСложная

В кольцевом буфере front == rear может означать и «пуст», и «полон». Какой распространённый способ их различить?

  1. AВсегда очищать буфер, когда front равен rear, так что состояние — пустой
  2. BДелать размер буфера степенью двойки
  3. CХранить front и rear в одной переменной
  4. DХранить отдельный счётчик элементов или всегда оставлять одну ячейку свободной
5.Теория графовСредняя
ABCDEFЭйлеров циклЭйлеров путь, не циклни то, ни другое

Есть ли в связном графе эйлеров цикл, эйлеров путь, не являющийся циклом, или ни то ни другое? Нажмите на ваш ответ.

|V| = 6|E| = 9
  1. 1Эйлеров цикл
  2. 2Эйлеров путь, не цикл
  3. 3ни то, ни другое
6.Теория графовСложная
220191838111ABCDEF

Найдите суммарный вес W минимального остовного дерева взвешенного графа.

|V| = 6|E| = 8
W =

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: D · Жадный метод использует 3 монеты; оптимум — 2

Почему это ответ

Жадный метод берёт 4 + 1 + 1 = 3 монеты, а 3 + 3 — лишь 2, поэтому для этой системы монет жадный метод не оптимален; динамическое программирование оптимально.

Ответ

D · Жадный метод использует 3 монеты; оптимум — 2
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: A · Принадлежит NP и любая задача из NP сводится к ней за полиномиальное время

Почему это ответ

NP-полные задачи — самые сложные в NP; полиномиальный алгоритм для одной из них дал бы полиномиальный алгоритм для всего класса NP.

Ответ

A · Принадлежит NP и любая задача из NP сводится к ней за полиномиальное время
3.Структуры данных

Ответ: A · В двусвязном списке

Почему это ответ

Узел двусвязного списка знает своего предшественника, поэтому prev и next можно сразу перевязать; в односвязном списке предшественника приходится искать.

Ответ

A · В двусвязном списке
4.Структуры данных

Ответ: D · Хранить отдельный счётчик элементов или всегда оставлять одну ячейку свободной

Почему это ответ

Со счётчиком «пуст» означает count = 0, а «полон» — count = ёмкость; при одной свободной ячейке «полон» определяется как (rear + 1) mod n == front.

Ответ

D · Хранить отдельный счётчик элементов или всегда оставлять одну ячейку свободной
5.Теория графов

Ответ: Эйлеров путь, не цикл

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Степени

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 3, deg(D) = 3, deg(E) = 4, deg(F) = 2

Нечётные вершины

C, D → 2
Эйлеров путь, не цикл

Ответ

Эйлеров путь, не цикл

Эйлеров путь начинается в одной нечётной вершине и заканчивается в другой.

6.Теория графов

Ответ: W = 33

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Краскала

BE (1): берём
AB (2): берём
DE (3): берём
DF (8): берём
EF (11): пропускаем, замыкает цикл
BD (18): пропускаем, замыкает цикл
BC (19): берём

Суммарный вес

W = 1 + 2 + 3 + 8 + 19 = 33

Ответ

W = 33

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms