Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Как алгоритм Прима строит минимальное остовное дерево?

  1. AОн запускает поиск в ширину и сохраняет дерево BFS
  2. BОн выращивает одно дерево от начальной вершины, добавляя самое дешёвое ребро, выходящее из дерева
  3. CОн удаляет самое дорогое ребро, пока не исчезнут циклы
  4. DОн сортирует все рёбра по весу и добавляет каждое, если оно не образует цикл в лесу
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Принадлежит ли 22n классу O(2ⁿ)?

  1. AДа, потому что постоянные множители в показателе в O большом всегда игнорируются
  2. BДа, потому что обе функции экспоненциальны
  3. CНет, потому что 22n растёт медленнее 2ⁿ
  4. DНет, потому что 22n = 4ⁿ, а 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ растёт неограниченно
3.Структуры данныхСредняя

У двоичного дерева корень 1 с левым потомком 2 и правым потомком 3; у узла 2 потомки 4 (левый) и 5 (правый). Каков прямой обход (preorder)?

  1. A1 2 3 4 5
  2. B1 2 4 5 3
  3. C4 5 2 3 1
  4. D4 2 5 1 3
4.Структуры данныхСложная

Почему B-деревья используются в базах данных и файловых системах?

  1. AОни хранят неотсортированные данные
  2. BИм не нужна перебалансировка
  3. CВысокая степень ветвления делает дерево неглубоким и сокращает число медленных чтений с диска
  4. DОни занимают меньше памяти, чем любой массив, поэтому весь индекс всегда помещается в оперативной памяти
5.Теория графовСредняя

У дерева 3 вершин степени 3, а все остальные его вершины — листья (степень 1). Сколько у него листьев, L?

3 × deg 3
L =
6.Теория графовСложная
48911112213ABCDEFG

Алгоритм Дейкстры запускается из A. Нажмите на вершину, которая фиксируется (становится постоянной) на шаге 4; сама A фиксируется на шаге 1.

начало: Aшаг 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: B · Он выращивает одно дерево от начальной вершины, добавляя самое дешёвое ребро, выходящее из дерева

Почему это ответ

Алгоритм Прима с очередью с приоритетом пересекающих рёбер работает за O(E log V) при использовании двоичной кучи.

Ответ

B · Он выращивает одно дерево от начальной вершины, добавляя самое дешёвое ребро, выходящее из дерева
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: D · Нет, потому что 22n = 4ⁿ, а 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ растёт неограниченно

Почему это ответ

Константа, прибавленная к показателю, даёт постоянный множитель, а константа, умножающая показатель, меняет основание и скорость роста.

Ответ

D · Нет, потому что 22n = 4ⁿ, а 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ растёт неограниченно
3.Структуры данных

Ответ: B · 1 2 4 5 3

Почему это ответ

Прямой обход посещает 1, затем его левое поддерево (2, 4, 5), затем 3; остальные варианты — симметричный, обратный обход и обход по уровням.

Ответ

B · 1 2 4 5 3
4.Структуры данных

Ответ: C · Высокая степень ветвления делает дерево неглубоким и сокращает число медленных чтений с диска

Почему это ответ

B-деревья хранят много ключей в узле, поэтому высота мала и на один поиск нужно мало чтений блоков; B+ деревья также связывают листья для сканирования диапазонов.

Ответ

C · Высокая степень ветвления делает дерево неглубоким и сокращает число медленных чтений с диска
5.Теория графов

Ответ: L = 5

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Лемма о рукопожатиях для дерева

L + 9 = 2(L + 3) − 2
L = 5

Ответ

L = 5

Короткий путь: L = 2 + Σ (d − 2) по вершинам степени d ≥ 3.

6.Теория графов

Ответ: B

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстры по шагам

1. A (0): C: 4
2. C (4): B: 12, E: 15, G: 5
3. G (5): B: 7, D: 8
4. B (7)
5. D (8): E: 9, F: 20
6. E (9)
7. F (20)

шаг 4

B

Ответ

B

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms