Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Какова временна́я сложность умножения двух матриц n × n стандартным тройным циклом?

  1. AO(n³)
  2. BO(n²)
  3. CO(n² log n)
  4. DO(n)
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Какова временная сложность построения двоичной кучи из n неотсортированных элементов восходящим методом (bottom-up)?

  1. AO(n²)
  2. BO(n log n)
  3. CO(log n)
  4. DO(n)
3.Структуры данныхСредняя

Как найти минимальный ключ в двоичном дереве поиска?

  1. AИдти от корня по левым потомкам, пока левого потомка не окажется
  2. BИдти от корня по правым потомкам, пока правого потомка не окажется
  3. CОбойти все листья и сравнить их
  4. DПосмотреть только на корень
4.Структуры данныхСложная

В чём главное преимущество списка с пропусками (skip list) перед отсортированным связным списком?

  1. AОжидаемый поиск за O(log n) благодаря нескольким уровням указателей вперёд
  2. BОн не использует дополнительной памяти
  3. CГарантированный поиск за O(1), потому что каждый узел хранит указатель на каждый другой узел
  4. DОн хранит ключи без упорядочения
5.Теория графовСредняя

Связный граф имеет 14 вершин и 21 рёбер. Сколько рёбер, k, нужно удалить, чтобы осталось остовное дерево?

|V| = 14|E| = 21
k =
6.Теория графовСложная
15101073154561556ABCDEFG

С помощью алгоритма Дейкстры найдите длину d(F) кратчайшего пути от A до F во взвешенном графе.

начало: Aконец: F
d(F) =

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: A · O(n³)

Почему это ответ

Элементов n², и каждому нужно n умножений, что даёт n³ операций.

Ответ

A · O(n³)
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: D · O(n)

Почему это ответ

Сумма затрат на просеивание вниз (sift-down) по всем уровням даёт сходящийся ряд, поэтому построение кучи (heapify) выполняется за линейное время.

Ответ

D · O(n)
3.Структуры данных

Ответ: A · Идти от корня по левым потомкам, пока левого потомка не окажется

Почему это ответ

У самого левого узла нет в дереве меньшего ключа, поэтому он минимальный; стоимость пропорциональна высоте.

Ответ

A · Идти от корня по левым потомкам, пока левого потомка не окажется
4.Структуры данных

Ответ: A · Ожидаемый поиск за O(log n) благодаря нескольким уровням указателей вперёд

Почему это ответ

Случайные уровни позволяют поиску пропускать много узлов, что даёт ожидаемую сложность O(log n) для поиска, вставки и удаления.

Ответ

A · Ожидаемый поиск за O(log n) благодаря нескольким уровням указателей вперёд
5.Теория графов

Ответ: k = 8

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Рёбра остовного дерева

14 − 1 = 13

Рёбра для удаления

k = 21 − 13 = 8

Ответ

k = 8
6.Теория графов

Ответ: d(F) = 18

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстры по шагам

В каждой строке: зафиксированная вершина, её окончательное расстояние и соседи, у которых расстояние улучшается.

A (0): B: 15, C: 10
C (10): E: 13, G: 25
E (13): D: 28, F: 18, G: 19
B (15): D: 22
F (18)
G (19)
D (22)

Кратчайший путь

A → C → E → F
d(F) = 18

Ответ

d(F) = 18

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms