Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Почему динамическое программирование не даёт реального ускорения для сортировки слиянием?

  1. AДинамическое программирование работает только на задачах о графах, но не на массивах
  2. BУ сортировки слиянием нет рекурсивной структуры
  3. CСортировка слиянием уже работает за O(n)
  4. DЕё подзадачи не перекрываются, поэтому нечего использовать повторно
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Какая оценка для log(n!) верна?

  1. AΘ(n log n)
  2. BΘ(n²)
  3. CΘ(n)
  4. DΘ(log n)
3.Структуры данныхСредняя

Сколько памяти занимают списки смежности для графа с V вершинами и E рёбрами?

  1. AO(V + E)
  2. BO(E²)
  3. CO(V²)
  4. DO(V × E)
4.Структуры данныхСложная

Нужно хранить k наименьших значений из потока n чисел, используя O(k) памяти. Какой подход работает за время O(n log k)?

  1. AMin-куча, хранящая все n значений, из которой в конце извлекаются k наименьших
  2. BMax-куча размера k, корень которой заменяется, когда приходит меньшее значение
  3. CОтсортированный массив всех n значений
  4. DОчередь FIFO последних k значений
5.Теория графовСредняя

Связный граф имеет 11 вершин и 11 рёбер. Сколько рёбер, k, нужно удалить, чтобы осталось остовное дерево?

|V| = 11|E| = 11
k =
6.Теория графовСложная
15814388311149ABCDEFG

Алгоритм Дейкстры запускается из A. Нажмите на вершину, которая фиксируется (становится постоянной) на шаге 4; сама A фиксируется на шаге 1.

начало: Aшаг 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: D · Её подзадачи не перекрываются, поэтому нечего использовать повторно

Почему это ответ

Половины в сортировке слиянием не пересекаются, и каждая решается один раз; ДП помогает только при повторяющихся подзадачах, как в числах Фибоначчи.

Ответ

D · Её подзадачи не перекрываются, поэтому нечего использовать повторно
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: A · Θ(n log n)

Почему это ответ

log(n!) ≤ n log n, а наибольшие n / 2 множителей дают log(n!) ≥ (n / 2) log(n / 2); поэтому сортировке сравнениями нужно Ω(n log n).

Ответ

A · Θ(n log n)
3.Структуры данных

Ответ: A · O(V + E)

Почему это ответ

У каждой вершины есть список, а каждое ребро встречается один раз (ориентированный граф) или дважды (неориентированный), что даёт O(V + E).

Ответ

A · O(V + E)
4.Структуры данных

Ответ: B · Max-куча размера k, корень которой заменяется, когда приходит меньшее значение

Почему это ответ

Корень max-кучи — наибольшее из хранимых значений; любое меньшее новое значение заменяет его за O(log k), поэтому куча всегда содержит k наименьших значений на данный момент.

Ответ

B · Max-куча размера k, корень которой заменяется, когда приходит меньшее значение
5.Теория графов

Ответ: k = 1

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Рёбра остовного дерева

11 − 1 = 10

Рёбра для удаления

k = 11 − 10 = 1

Ответ

k = 1
6.Теория графов

Ответ: E

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстры по шагам

1. A (0): B: 15, C: 8
2. C (8): E: 16, G: 22
3. B (15): D: 18
4. E (16): F: 19
5. D (18)
6. F (19)
7. G (22)

шаг 4

E

Ответ

E

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms