Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Какова амортизированная временная сложность добавления элемента в конец динамического массива, который удваивает свою ёмкость при заполнении?

  1. AO(n²)
  2. BO(log n)
  3. CO(1)
  4. DO(n)
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Какое определение класса P верно?

  1. AЗадачи, требующие экспоненциального времени на любом компьютере
  2. BЗадачи распознавания, решаемые детерминированным алгоритмом за полиномиальное время
  3. CЗадачи, которые можно решать параллельно
  4. DЗадачи, решения которых можно проверить, но никогда не найти за полиномиальное время
3.Структуры данныхСредняя

Какой метод разрешения коллизий хранит конфликтующие ключи в списке в той же корзине?

  1. AЛинейное пробирование
  2. BКвадратичное пробирование
  3. CДвойное хеширование
  4. DМетод цепочек (separate chaining)
4.Структуры данныхСложная

Для чего используется структура union-find в алгоритме Краскала построения минимального остовного дерева?

  1. AДля проверки, соединены ли уже два конца ребра
  2. BДля хранения текущего расстояния каждой вершины от источника во время обхода
  3. CДля сортировки рёбер по весу
  4. DДля выбора начальной вершины
5.Теория графовСредняя

У дерева 2 вершин степени 3, 2 вершин степени 4, 4 вершин степени 5, а все остальные его вершины — листья (степень 1). Сколько у него листьев, L?

2 × deg 32 × deg 44 × deg 5
L =
6.Теория графовСложная
1552511151113ABCDEF

Алгоритм Дейкстры запускается из A. Нажмите на вершину, которая фиксируется (становится постоянной) на шаге 4; сама A фиксируется на шаге 1.

начало: Aшаг 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: C · O(1)

Почему это ответ

Копирование всех элементов происходит только на степенях двойки; если распределить эти затраты на все добавления, средняя стоимость одного добавления постоянна.

Ответ

C · O(1)
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: B · Задачи распознавания, решаемые детерминированным алгоритмом за полиномиальное время

Почему это ответ

P содержит задачи распознавания с детерминированным полиномиальным алгоритмом, например проверку связности графа.

Ответ

B · Задачи распознавания, решаемые детерминированным алгоритмом за полиномиальное время
3.Структуры данных

Ответ: D · Метод цепочек (separate chaining)

Почему это ответ

Метод цепочек хранит для каждой корзины связный список (или другую структуру); открытая адресация ищет другую свободную ячейку в самой таблице.

Ответ

D · Метод цепочек (separate chaining)
4.Структуры данных

Ответ: A · Для проверки, соединены ли уже два конца ребра

Почему это ответ

Find показывает, лежат ли оба конца в одной компоненте; если нет, ребро добавляется, а union объединяет компоненты.

Ответ

A · Для проверки, соединены ли уже два конца ребра
5.Теория графов

Ответ: L = 20

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Лемма о рукопожатиях для дерева

L + 34 = 2(L + 8) − 2
L = 20

Ответ

L = 20

Короткий путь: L = 2 + Σ (d − 2) по вершинам степени d ≥ 3.

6.Теория графов

Ответ: D

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстры по шагам

1. A (0): B: 15, C: 5
2. C (5): B: 7
3. B (7): D: 12, E: 20
4. D (12): F: 27
5. E (20)
6. F (27)

шаг 4

D

Ответ

D

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms