Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Динамическое программирование полезно, когда у задачи есть:

  1. AПерекрывающиеся подзадачи и оптимальная подструктура
  2. BВообще никаких подзадач, поэтому её можно решить за один шаг
  3. CТолько случайные входные данные
  4. DОдин цикл
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Алгоритм Штрассена умножает матрицы, используя 7 вместо 8 рекурсивных умножений блоков половинного размера. Каково время его работы?

  1. AΘ(n2)
  2. BΘ(n² log n)
  3. CΘ(n³)
  4. DΘ(nlog₂ 7), примерно n2,81
3.Структуры данныхСредняя

Какова высота двоичного дерева поиска с n узлами в худшем случае, если ключи вставляются в отсортированном порядке?

  1. A1
  2. Bn (дерево превращается в связный список)
  3. C√n
  4. Dlog₂ n
4.Структуры данныхСложная

Какая структура позволяет вычислить максимум каждого окна размера k в массиве за общее время O(n)?

  1. AОдносвязный список элементов окна
  2. BДек, хранящий индексы в порядке убывания значений
  3. CMin-куча, перестраиваемая для каждого окна
  4. DОтсортированный массив, обновляемый сдвигами
5.Теория графовСредняя

Связный граф имеет 7 вершин и 14 рёбер. Сколько рёбер, k, нужно удалить, чтобы осталось остовное дерево?

|V| = 7|E| = 14
k =
6.Теория графовСложная
51522911133ABCDEF

С помощью алгоритма Дейкстры найдите длину d(F) кратчайшего пути от A до F во взвешенном графе.

начало: Aконец: F
d(F) =

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: A · Перекрывающиеся подзадачи и оптимальная подструктура

Почему это ответ

Сохранение результатов перекрывающихся подзадач (мемоизация или табуляция) позволяет избежать повторной работы и превращает экспоненциальные алгоритмы в полиномиальные.

Ответ

A · Перекрывающиеся подзадачи и оптимальная подструктура
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: D · Θ(nlog₂ 7), примерно n2,81

Почему это ответ

При a = 7 и b = 2 член nlog₂ 7 доминирует над работой сложения O(n²), что даёт примерно n2,81.

Ответ

D · Θ(nlog₂ 7), примерно n2,81
3.Структуры данных

Ответ: B · n (дерево превращается в связный список)

Почему это ответ

Вставка отсортированных ключей создаёт вырожденное дерево высотой n, и поиск становится O(n). Сбалансированные деревья это предотвращают.

Ответ

B · n (дерево превращается в связный список)
4.Структуры данных

Ответ: B · Дек, хранящий индексы в порядке убывания значений

Почему это ответ

Начало дека всегда содержит максимум окна; каждый индекс входит в дек и покидает его один раз, поэтому работа линейна.

Ответ

B · Дек, хранящий индексы в порядке убывания значений
5.Теория графов

Ответ: k = 8

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Рёбра остовного дерева

7 − 1 = 6

Рёбра для удаления

k = 14 − 6 = 8

Ответ

k = 8
6.Теория графов

Ответ: d(F) = 18

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстры по шагам

В каждой строке: зафиксированная вершина, её окончательное расстояние и соседи, у которых расстояние улучшается.

A (0): B: 5
B (5): C: 20, D: 7, E: 8
D (7): F: 18
E (8): C: 10
C (10)
F (18)

Кратчайший путь

A → B → D → F
d(F) = 18

Ответ

d(F) = 18

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms