Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Сколько памяти стека использует простая рекурсивная функция факториала fact(n) = n × fact(n − 1)?

  1. AO(n)
  2. BO(log n)
  3. CO(1)
  4. DO(n²)
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Кратчайшие простые пути можно найти за полиномиальное время. Что известно о поиске самого длинного простого пути между двумя вершинами в произвольном графе?

  1. AОна всегда решается за O(V + E)
  2. BОна неразрешима
  3. CЭто NP-трудная задача
  4. DЕё можно решить алгоритмом Дейкстры с отрицательными весами
3.Структуры данныхСредняя

Где в двоичной куче, хранящейся в массиве с индексацией от 0, находится родитель узла с индексом i?

  1. AВ индексе 2i + 1
  2. BВ индексе ⌊(i − 1) / 2⌋
  3. CВ индексе i − 1
  4. DВ индексе ⌊i / 2⌋ + 1
4.Структуры данныхСложная

Узел АВЛ-дерева разбалансирован, потому что правое поддерево его левого потомка стало слишком высоким (случай левый–правый). Какое исправление применяется?

  1. AПравый поворот в левом потомке, затем левый поворот в узле
  2. BОдиночный правый поворот в узле
  3. CЛевый поворот в левом потомке, затем правый поворот в узле
  4. DОдиночный левый поворот в узле
5.Теория графовСредняя

У дерева 4 вершин степени 3, 4 вершин степени 4, 3 вершин степени 5, а все остальные его вершины — листья (степень 1). Сколько у него листьев, L?

4 × deg 34 × deg 43 × deg 5
L =
6.Теория графовСложная
1814111373169105ABCDEFG

Найдите суммарный вес W минимального остовного дерева взвешенного графа.

|V| = 7|E| = 10
W =

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: A · O(n)

Почему это ответ

Глубина рекурсии — n вызовов до первого возврата, и каждому вызову нужен кадр стека, поэтому используется O(n) памяти.

Ответ

A · O(n)
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: C · Это NP-трудная задача

Почему это ответ

Самый длинный простой путь длины V − 1 — гамильтонов путь, а это NP-полная задача; однако на ориентированных ациклических графах она решается за линейное время.

Ответ

C · Это NP-трудная задача
3.Структуры данных

Ответ: B · В индексе ⌊(i − 1) / 2⌋

Почему это ответ

Потомки i находятся в 2i + 1 и 2i + 2, поэтому родитель i — в ⌊(i − 1) / 2⌋; при индексации с 1 это ⌊i / 2⌋.

Ответ

B · В индексе ⌊(i − 1) / 2⌋
4.Структуры данных

Ответ: C · Левый поворот в левом потомке, затем правый поворот в узле

Почему это ответ

Первый поворот превращает случай левый–правый в случай левый–левый, который затем исправляет правый поворот в несбалансированном узле.

Ответ

C · Левый поворот в левом потомке, затем правый поворот в узле
5.Теория графов

Ответ: L = 23

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Лемма о рукопожатиях для дерева

L + 43 = 2(L + 11) − 2
L = 23

Ответ

L = 23

Короткий путь: L = 2 + Σ (d − 2) по вершинам степени d ≥ 3.

6.Теория графов

Ответ: W = 49

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Краскала

DF (3): берём
GE (5): берём
DE (7): берём
GC (9): берём
GD (10): пропускаем, замыкает цикл
BD (11): берём
CE (13): пропускаем, замыкает цикл
AC (14): берём

Суммарный вес

W = 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 14 = 49

Ответ

W = 49

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms