Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Какова временна́я сложность алгоритма Беллмана–Форда на графе с V вершинами и E рёбрами?

  1. AO(V³ × E)
  2. BO(V × E)
  3. CO(E log V)
  4. DO(V + E)
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Какое утверждение о P и NP верно?

  1. ANP означает «неполиномиальный» (not polynomial)
  2. BДоказано, что P ≠ NP
  3. CРешения задач NP невозможно быстро проверить
  4. DКаждая задача из P также принадлежит NP
3.Структуры данныхСредняя

Какое условие балансировки поддерживает АВЛ-дерево в каждом узле?

  1. AОба поддерева каждого узла содержат ровно одинаковое число узлов
  2. BВысоты левого и правого поддеревьев различаются не более чем на 1
  3. CКаждый узел окрашен в красный или чёрный цвет
  4. DВсе листья находятся ровно на одной глубине
4.Структуры данныхСложная

Структура union-find (система непересекающихся множеств) с объединением по рангу и сжатием путей имеет амортизированную стоимость операции:

  1. AO(n)
  2. BO(α(n)), обратная функция Аккермана, практически константа
  3. CO(n²)
  4. DРовно O(log n)
5.Теория графовСредняя
ABCDEЭйлеров циклЭйлеров путь, не циклни то, ни другое

Есть ли в связном графе эйлеров цикл, эйлеров путь, не являющийся циклом, или ни то ни другое? Нажмите на ваш ответ.

|V| = 5|E| = 6
  1. 1Эйлеров цикл
  2. 2Эйлеров путь, не цикл
  3. 3ни то, ни другое
6.Теория графовСложная
133810821413ABCDEFG

С помощью алгоритма Дейкстры найдите длину d(F) кратчайшего пути от A до F во взвешенном графе.

начало: Aконец: F
d(F) =

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: B · O(V × E)

Почему это ответ

Каждый из V − 1 раундов релаксирует все E рёбер, что даёт O(VE); зато он работает с отрицательными весами рёбер.

Ответ

B · O(V × E)
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: D · Каждая задача из P также принадлежит NP

Почему это ответ

P ⊆ NP: если Вы можете быстро решить задачу, то можете и быстро проверить решение. Вопрос о том, верно ли P = NP, по-прежнему открыт.

Ответ

D · Каждая задача из P также принадлежит NP
3.Структуры данных

Ответ: B · Высоты левого и правого поддеревьев различаются не более чем на 1

Почему это ответ

Показатель сбалансированности (высота левого − высота правого) должен быть −1, 0 или 1; повороты восстанавливают его после вставок и удалений.

Ответ

B · Высоты левого и правого поддеревьев различаются не более чем на 1
4.Структуры данных

Ответ: B · O(α(n)), обратная функция Аккермана, практически константа

Почему это ответ

С обеими оптимизациями операции выполняются за амортизированное время O(α(n)); α(n) ≤ 4 для любого реалистичного n.

Ответ

B · O(α(n)), обратная функция Аккермана, практически константа
5.Теория графов

Ответ: Эйлеров цикл

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Степени

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Нечётные вершины

0
Эйлеров цикл

Ответ

Эйлеров цикл
6.Теория графов

Ответ: d(F) = 12

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстры по шагам

В каждой строке: зафиксированная вершина, её окончательное расстояние и соседи, у которых расстояние улучшается.

A (0): B: 1, C: 3
B (1): D: 4, G: 3
C (3): E: 11
G (3)
D (4): F: 12
E (11)
F (12)

Кратчайший путь

A → B → D → F
d(F) = 12

Ответ

d(F) = 12

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms