Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Что измеряет амортизационный анализ?

  1. AСтоимость алгоритма на лучшем входе
  2. BСреднюю стоимость одной операции в худшей последовательности операций
  3. CСтоимость одной самой дорогой операции в любом месте последовательности
  4. DОжидаемую стоимость на случайных входах
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Почему бинарный поиск не даёт времени O(log n) на односвязном списке?

  1. AСвязные списки нельзя сортировать
  2. BЧтобы добраться до среднего элемента, нужно O(n) шагов, поскольку нет прямого доступа по индексу
  3. CСравнения узлов связного списка медленнее
  4. DБинарному поиску нужно как минимум вдвое больше памяти
3.Структуры данныхСредняя

Что происходит, когда хеш-таблица выполняет рехеширование после превышения порога коэффициента заполнения?

  1. AСамые старые ключи удаляются, чтобы освободить место
  2. BВыделяется таблица большего размера, и каждый ключ вставляется заново
  3. CСуществующие ключи сортируются на месте
  4. DВ новый список переполнения в конце таблицы переносятся только конфликтующие ключи
4.Структуры данныхСложная

Какая структура позволяет вычислить максимум каждого окна размера k в массиве за общее время O(n)?

  1. AОдносвязный список элементов окна
  2. BОтсортированный массив, обновляемый сдвигами
  3. CДек, хранящий индексы в порядке убывания значений
  4. DMin-куча, перестраиваемая для каждого окна
5.Теория графовСредняя

Сколько различных гамильтоновых циклов, H, в полном графе K5? Циклы, отличающиеся только начальной вершиной или направлением, считаются одним и тем же.

K5
H =
6.Теория графовСложная
811815172053114ABCDEFG

Найдите суммарный вес W минимального остовного дерева взвешенного графа.

|V| = 7|E| = 10
W =

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: B · Среднюю стоимость одной операции в худшей последовательности операций

Почему это ответ

Амортизационный анализ распределяет стоимость редких дорогих операций на множество дешёвых, давая гарантированное среднее для любой последовательности.

Ответ

B · Среднюю стоимость одной операции в худшей последовательности операций
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: B · Чтобы добраться до среднего элемента, нужно O(n) шагов, поскольку нет прямого доступа по индексу

Почему это ответ

Бинарному поиску нужен доступ к середине за O(1); в связном списке путь туда стоит линейного времени, поэтому итог O(n).

Ответ

B · Чтобы добраться до среднего элемента, нужно O(n) шагов, поскольку нет прямого доступа по индексу
3.Структуры данных

Ответ: B · Выделяется таблица большего размера, и каждый ключ вставляется заново

Почему это ответ

Поскольку индекс вычисляется по модулю размера таблицы, все ключи нужно заново хешировать в новую, большую таблицу; при удвоении это остаётся O(1) амортизированно.

Ответ

B · Выделяется таблица большего размера, и каждый ключ вставляется заново
4.Структуры данных

Ответ: C · Дек, хранящий индексы в порядке убывания значений

Почему это ответ

Начало дека всегда содержит максимум окна; каждый индекс входит в дек и покидает его один раз, поэтому работа линейна.

Ответ

C · Дек, хранящий индексы в порядке убывания значений
5.Теория графов

Ответ: H = 12

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Посчитайте

H = (5 − 1)!/2 = 24/2 = 12

Ответ

H = 12
6.Теория графов

Ответ: W = 44

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Краскала

AC (1): берём
GC (3): берём
GE (4): берём
GB (5): берём
AB (8): пропускаем, замыкает цикл
GD (11): берём
BD (15): пропускаем, замыкает цикл
CE (17): пропускаем, замыкает цикл
BC (18): пропускаем, замыкает цикл
DF (20): берём

Суммарный вес

W = 1 + 3 + 4 + 5 + 11 + 20 = 44

Ответ

W = 44

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms