Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Динамическое программирование полезно, когда у задачи есть:

  1. AПерекрывающиеся подзадачи и оптимальная подструктура
  2. BВообще никаких подзадач, поэтому её можно решить за один шаг
  3. CТолько случайные входные данные
  4. DОдин цикл
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Задача является NP-полной, если она:

  1. AНеразрешима
  2. BПринадлежит NP и любая задача из NP сводится к ней за полиномиальное время
  3. CРешается за полиномиальное время
  4. DЛежит вне NP, но сложнее всех задач NP, как проблема остановки
3.Структуры данныхСредняя

Как найти минимальный ключ в двоичном дереве поиска?

  1. AОбойти все листья и сравнить их
  2. BИдти от корня по левым потомкам, пока левого потомка не окажется
  3. CИдти от корня по правым потомкам, пока правого потомка не окажется
  4. DПосмотреть только на корень
4.Структуры данныхСложная

Какому свойству должно удовлетворять красно-чёрное дерево?

  1. AУ каждого красного узла должны быть красные потомки, поэтому красные узлы всегда образуют непрерывные цепочки до листьев
  2. BКорень должен быть красным
  3. CКаждый путь от узла до его листьев-потомков содержит одинаковое число чёрных узлов
  4. DКаждый узел должен быть красным
5.Теория графовСредняя

Связный граф имеет 18 вершин и 25 рёбер. Сколько рёбер, k, нужно удалить, чтобы осталось остовное дерево?

|V| = 18|E| = 25
k =
6.Теория графовСложная
1314424134915138ABCDEFG

С помощью алгоритма Дейкстры найдите длину d(F) кратчайшего пути от A до F во взвешенном графе.

начало: Aконец: F
d(F) =

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: A · Перекрывающиеся подзадачи и оптимальная подструктура

Почему это ответ

Сохранение результатов перекрывающихся подзадач (мемоизация или табуляция) позволяет избежать повторной работы и превращает экспоненциальные алгоритмы в полиномиальные.

Ответ

A · Перекрывающиеся подзадачи и оптимальная подструктура
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: B · Принадлежит NP и любая задача из NP сводится к ней за полиномиальное время

Почему это ответ

NP-полные задачи — самые сложные в NP; полиномиальный алгоритм для одной из них дал бы полиномиальный алгоритм для всего класса NP.

Ответ

B · Принадлежит NP и любая задача из NP сводится к ней за полиномиальное время
3.Структуры данных

Ответ: B · Идти от корня по левым потомкам, пока левого потомка не окажется

Почему это ответ

У самого левого узла нет в дереве меньшего ключа, поэтому он минимальный; стоимость пропорциональна высоте.

Ответ

B · Идти от корня по левым потомкам, пока левого потомка не окажется
4.Структуры данных

Ответ: C · Каждый путь от узла до его листьев-потомков содержит одинаковое число чёрных узлов

Почему это ответ

Правила красно-чёрного дерева: узлы красные или чёрные, корень чёрный, потомки красных узлов чёрные, а все пути имеют одинаковую чёрную высоту, что удерживает высоту ≤ 2 log₂(n + 1).

Ответ

C · Каждый путь от узла до его листьев-потомков содержит одинаковое число чёрных узлов
5.Теория графов

Ответ: k = 8

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Рёбра остовного дерева

18 − 1 = 17

Рёбра для удаления

k = 25 − 17 = 8

Ответ

k = 8
6.Теория графов

Ответ: d(F) = 19

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстры по шагам

В каждой строке: зафиксированная вершина, её окончательное расстояние и соседи, у которых расстояние улучшается.

A (0): B: 13, C: 14
B (13): D: 15
C (14): E: 18, G: 29
D (15): F: 19, G: 28
E (18): G: 26
F (19)
G (26)

Кратчайший путь

A → B → D → F
d(F) = 19

Ответ

d(F) = 19

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms