Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Динамическое программирование полезно, когда у задачи есть:

  1. AПерекрывающиеся подзадачи и оптимальная подструктура
  2. BВообще никаких подзадач, поэтому её можно решить за один шаг
  3. CТолько случайные входные данные
  4. DОдин цикл
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Топологическая сортировка возможна только для:

  1. AНеориентированных графов
  2. BОриентированных ациклических графов
  3. CГрафов с отрицательными весами
  4. DПолных графов
3.Структуры данныхСредняя

Очередь реализована двумя стеками: push в стек «in», pop из стека «out», который при опустошении заполняется из «in». Какова амортизированная стоимость одной операции?

  1. AO(log n)
  2. BO(n²)
  3. CO(n)
  4. DO(1)
4.Структуры данныхСложная

Объект хранится как ключ в хеш-отображении, а затем меняется поле, используемое его хеш-функцией. Каков вероятный результат?

  1. AОтображение выбрасывает ошибку в момент изменения поля
  2. BОтображение автоматически переносит ключ в новую корзину
  3. CНичего не меняется, потому что хеш ключа вычисляется только один раз при запуске программы
  4. DПоиск объекта может не удаться, потому что он лежит в корзине своего старого хеша
5.Теория графовСредняя

У дерева 2 вершин степени 4, 3 вершин степени 2, а все остальные его вершины — листья (степень 1). Сколько у него листьев, L?

2 × deg 43 × deg 2
L =
6.Теория графовСложная
311215391410ABCDEF

Алгоритм Дейкстры запускается из A. Нажмите на вершину, которая фиксируется (становится постоянной) на шаге 5; сама A фиксируется на шаге 1.

начало: Aшаг 5
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: A · Перекрывающиеся подзадачи и оптимальная подструктура

Почему это ответ

Сохранение результатов перекрывающихся подзадач (мемоизация или табуляция) позволяет избежать повторной работы и превращает экспоненциальные алгоритмы в полиномиальные.

Ответ

A · Перекрывающиеся подзадачи и оптимальная подструктура
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: B · Ориентированных ациклических графов

Почему это ответ

Топологический порядок существует тогда и только тогда, когда в ориентированном графе нет циклов; его можно найти за O(V + E) с помощью DFS или алгоритма Кана.

Ответ

B · Ориентированных ациклических графов
3.Структуры данных

Ответ: D · O(1)

Почему это ответ

Каждый элемент помещается и извлекается в сумме не более двух раз, поэтому, хотя одно перезаполнение может занять O(n), в среднем по последовательности операций выходит O(1).

Ответ

D · O(1)
4.Структуры данных

Ответ: D · Поиск объекта может не удаться, потому что он лежит в корзине своего старого хеша

Почему это ответ

Место ключа было выбрано по его старому хешу; с новым хешем поиск идёт не в той корзине, поэтому ключи должны быть неизменяемыми.

Ответ

D · Поиск объекта может не удаться, потому что он лежит в корзине своего старого хеша
5.Теория графов

Ответ: L = 6

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Лемма о рукопожатиях для дерева

L + 14 = 2(L + 5) − 2
L = 6

Ответ

L = 6

Короткий путь: L = 2 + Σ (d − 2) по вершинам степени d ≥ 3.

6.Теория графов

Ответ: D

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстры по шагам

1. A (0): B: 3, C: 11
2. B (3): C: 5, D: 18, E: 13
3. C (5): E: 8
4. E (8): D: 17, F: 22
5. D (17)
6. F (22)

шаг 5

D

Ответ

D

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms