Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Какова временна́я сложность умножения двух матриц n × n стандартным тройным циклом?

  1. AO(n² log n)
  2. BO(n²)
  3. CO(n³)
  4. DO(n)
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Какие две вещи нужно показать, чтобы доказать NP-полноту задачи распознавания X?

  1. AУ X нет полиномиального алгоритма, и X разрешима
  2. BX сводится к задаче из P, и X лежит в NP
  3. CX лежит в P, и X сводится к SAT
  4. DX лежит в NP, и известная NP-полная задача сводится к X за полиномиальное время
3.Структуры данныхСредняя

Очередь реализована двумя стеками: push в стек «in», pop из стека «out», который при опустошении заполняется из «in». Какова амортизированная стоимость одной операции?

  1. AO(1)
  2. BO(n)
  3. CO(n²)
  4. DO(log n)
4.Структуры данныхСложная

Какому свойству должно удовлетворять красно-чёрное дерево?

  1. AКорень должен быть красным
  2. BУ каждого красного узла должны быть красные потомки, поэтому красные узлы всегда образуют непрерывные цепочки до листьев
  3. CКаждый путь от узла до его листьев-потомков содержит одинаковое число чёрных узлов
  4. DКаждый узел должен быть красным
5.Теория графовСредняя

Сколько различных гамильтоновых циклов, H, в полном графе K4? Циклы, отличающиеся только начальной вершиной или направлением, считаются одним и тем же.

K4
H =
6.Теория графовСложная
6141615123987ABCDEFG

Алгоритм Прима строит минимальное остовное дерево, начиная с вершины F. Нажмите на ребро, которое он добавляет под номером 6.

начало: Fk = 6
  1. 1ребро AB
  2. 2ребро AC
  3. 3ребро CE
  4. 4ребро DE
  5. 5ребро DF
  6. 6ребро GB
  7. 7ребро GC
  8. 8ребро GD
  9. 9ребро GE

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: C · O(n³)

Почему это ответ

Элементов n², и каждому нужно n умножений, что даёт n³ операций.

Ответ

C · O(n³)
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: D · X лежит в NP, и известная NP-полная задача сводится к X за полиномиальное время

Почему это ответ

Принадлежность к NP показывает, что X не сложнее NP; сведение известной NP-полной задачи показывает, что X не легче всего класса NP.

Ответ

D · X лежит в NP, и известная NP-полная задача сводится к X за полиномиальное время
3.Структуры данных

Ответ: A · O(1)

Почему это ответ

Каждый элемент помещается и извлекается в сумме не более двух раз, поэтому, хотя одно перезаполнение может занять O(n), в среднем по последовательности операций выходит O(1).

Ответ

A · O(1)
4.Структуры данных

Ответ: C · Каждый путь от узла до его листьев-потомков содержит одинаковое число чёрных узлов

Почему это ответ

Правила красно-чёрного дерева: узлы красные или чёрные, корень чёрный, потомки красных узлов чёрные, а все пути имеют одинаковую чёрную высоту, что удерживает высоту ≤ 2 log₂(n + 1).

Ответ

C · Каждый путь от узла до его листьев-потомков содержит одинаковое число чёрных узлов
5.Теория графов

Ответ: H = 3

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Посчитайте

H = (4 − 1)!/2 = 6/2 = 3

Ответ

H = 3
6.Теория графов

Ответ: ребро GC

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Прима

1. DF (12)
2. GD (8)
3. GB (3)
4. AB (6)
5. GE (7)
6. GC (9)

номер ребра 6

GC

Ответ

ребро GC

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms