Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Динамическое программирование полезно, когда у задачи есть:

  1. AПерекрывающиеся подзадачи и оптимальная подструктура
  2. BВообще никаких подзадач, поэтому её можно решить за один шаг
  3. CОдин цикл
  4. DТолько случайные входные данные
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Какое определение класса NP верно?

  1. AЗадачи, которые не может решить ни один алгоритм
  2. BЗадачи, которые не являются полиномиальными
  3. CЗадачи распознавания, положительные ответы которых можно проверить за полиномиальное время при наличии сертификата
  4. DЗадачи, которые нельзя решить за полиномиальное время
3.Структуры данныхСредняя

У двоичного дерева корень 1 с левым потомком 2 и правым потомком 3; у узла 2 потомки 4 (левый) и 5 (правый). Каков обратный обход (postorder)?

  1. A5 4 3 2 1
  2. B4 2 5 1 3
  3. C1 2 4 5 3
  4. D4 5 2 3 1
4.Структуры данныхСложная

Какое утверждение о пирамидальной сортировке (heapsort) верно?

  1. AОна сортирует на месте за O(n log n) в худшем случае, но не является устойчивой
  2. BОна работает за O(n) на любых входных данных
  3. CЕй нужно двоичное дерево поиска как дополнительное хранилище, поэтому она использует O(n) дополнительной памяти
  4. DОна устойчива и требует O(n) дополнительной памяти
5.Теория графовСредняя

Связный граф имеет 19 вершин и 27 рёбер. Сколько рёбер, k, нужно удалить, чтобы осталось остовное дерево?

|V| = 19|E| = 27
k =
6.Теория графовСложная
125761311512ABCDEF

Алгоритм Дейкстры запускается из A. Нажмите на вершину, которая фиксируется (становится постоянной) на шаге 5; сама A фиксируется на шаге 1.

начало: Aшаг 5
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: A · Перекрывающиеся подзадачи и оптимальная подструктура

Почему это ответ

Сохранение результатов перекрывающихся подзадач (мемоизация или табуляция) позволяет избежать повторной работы и превращает экспоненциальные алгоритмы в полиномиальные.

Ответ

A · Перекрывающиеся подзадачи и оптимальная подструктура
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: C · Задачи распознавания, положительные ответы которых можно проверить за полиномиальное время при наличии сертификата

Почему это ответ

Для задачи из NP предложенное решение (сертификат) можно быстро проверить, например убедиться, что данное присваивание выполняет булеву формулу.

Ответ

C · Задачи распознавания, положительные ответы которых можно проверить за полиномиальное время при наличии сертификата
3.Структуры данных

Ответ: D · 4 5 2 3 1

Почему это ответ

Обратный обход обрабатывает 4 и 5 до 2, затем 3 и наконец корень 1.

Ответ

D · 4 5 2 3 1
4.Структуры данных

Ответ: A · Она сортирует на месте за O(n log n) в худшем случае, но не является устойчивой

Почему это ответ

Heapsort строит max-кучу и n раз извлекает максимум в том же массиве; обмены на большие расстояния могут менять порядок равных ключей.

Ответ

A · Она сортирует на месте за O(n log n) в худшем случае, но не является устойчивой
5.Теория графов

Ответ: k = 9

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Рёбра остовного дерева

19 − 1 = 18

Рёбра для удаления

k = 27 − 18 = 9

Ответ

k = 9
6.Теория графов

Ответ: D

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстры по шагам

1. A (0): C: 12
2. C (12): B: 17, E: 18
3. B (17): D: 24
4. E (18): F: 33
5. D (24): F: 25
6. F (25)

шаг 5

D

Ответ

D

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms