Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

При монетах 1, 3 и 4 и сумме 6 сколько монет использует жадный метод «сначала самая крупная монета» по сравнению с оптимумом?

  1. AЖадный метод использует 4 монеты; оптимум — 3
  2. BЖадный метод использует 3 монеты; оптимум — 3
  3. CЖадный метод использует 2 монеты; оптимум — 2
  4. DЖадный метод использует 3 монеты; оптимум — 2
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Как классифицируется задача коммивояжёра?

  1. AОна неразрешима
  2. BВерсия распознавания NP-полна, а оптимизационная версия NP-трудна
  3. CВерсия распознавания лежит в P, а оптимизационная NP-полна
  4. DОна лежит в P, потому что её решает алгоритм Дейкстры, посещая каждый город один раз
3.Структуры данныхСредняя

Сколько времени занимает поиск слова длины L в префиксном дереве (trie) с фиксированным алфавитом?

  1. AO(L), независимо от числа хранимых слов
  2. BO(log n), где n — число слов
  3. CO(n), где n — число слов
  4. DO(L × n)
4.Структуры данныхСложная

Какому свойству должно удовлетворять красно-чёрное дерево?

  1. AУ каждого красного узла должны быть красные потомки, поэтому красные узлы всегда образуют непрерывные цепочки до листьев
  2. BКаждый путь от узла до его листьев-потомков содержит одинаковое число чёрных узлов
  3. CКаждый узел должен быть красным
  4. DКорень должен быть красным
5.Теория графовСредняя

У дерева 4 вершин степени 5, 3 вершин степени 2, а все остальные его вершины — листья (степень 1). Сколько у него листьев, L?

4 × deg 53 × deg 2
L =
6.Теория графовСложная
211141831915ABCDE

Найдите суммарный вес W минимального остовного дерева взвешенного графа.

|V| = 5|E| = 7
W =

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: D · Жадный метод использует 3 монеты; оптимум — 2

Почему это ответ

Жадный метод берёт 4 + 1 + 1 = 3 монеты, а 3 + 3 — лишь 2, поэтому для этой системы монет жадный метод не оптимален; динамическое программирование оптимально.

Ответ

D · Жадный метод использует 3 монеты; оптимум — 2
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: B · Версия распознавания NP-полна, а оптимизационная версия NP-трудна

Почему это ответ

«Есть ли обход длиной не более k?» — NP-полная задача; поиск кратчайшего обхода NP-труден, так как он не легче.

Ответ

B · Версия распознавания NP-полна, а оптимизационная версия NP-трудна
3.Структуры данных

Ответ: A · O(L), независимо от числа хранимых слов

Почему это ответ

Каждый символ выбирает одного потомка, поэтому поиск занимает L шагов, сколько бы слов ни содержало дерево.

Ответ

A · O(L), независимо от числа хранимых слов
4.Структуры данных

Ответ: B · Каждый путь от узла до его листьев-потомков содержит одинаковое число чёрных узлов

Почему это ответ

Правила красно-чёрного дерева: узлы красные или чёрные, корень чёрный, потомки красных узлов чёрные, а все пути имеют одинаковую чёрную высоту, что удерживает высоту ≤ 2 log₂(n + 1).

Ответ

B · Каждый путь от узла до его листьев-потомков содержит одинаковое число чёрных узлов
5.Теория графов

Ответ: L = 14

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Лемма о рукопожатиях для дерева

L + 26 = 2(L + 7) − 2
L = 14

Ответ

L = 14

Короткий путь: L = 2 + Σ (d − 2) по вершинам степени d ≥ 3.

6.Теория графов

Ответ: W = 34

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Краскала

AB (2): берём
CE (3): берём
AC (11): берём
BC (14): пропускаем, замыкает цикл
BE (15): пропускаем, замыкает цикл
BD (18): берём

Суммарный вес

W = 2 + 3 + 11 + 18 = 34

Ответ

W = 34

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms