Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Каково решение рекуррентного соотношения T(n) = T(n − 1) + O(1)?

  1. AO(n²)
  2. BO(2ⁿ)
  3. CO(n)
  4. DO(log n)
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Какая из этих задач выполнимости, как известно, решается за полиномиальное время?

  1. AОбщая SAT для формул в конъюнктивной нормальной форме
  2. B3-SAT, где в каждом дизъюнкте ровно три литерала
  3. C2-SAT, где в каждом дизъюнкте не более двух литералов
  4. DВыполнимость схем
3.Структуры данныхСредняя

Сколько времени занимает проверка существования ребра (u, v) с помощью матрицы смежности?

  1. AO(E)
  2. BO(1)
  3. CO(log V)
  4. DO(V)
4.Структуры данныхСложная

Какова стоимость одной операции find в худшем случае в структуре union-find с n элементами без объединения по рангу и сжатия путей?

  1. AO(1)
  2. BO(log n)
  3. CO(α(n))
  4. DO(n)
5.Теория графовСредняя
ABCDEFЭйлеров циклЭйлеров путь, не циклни то, ни другое

Есть ли в связном графе эйлеров цикл, эйлеров путь, не являющийся циклом, или ни то ни другое? Нажмите на ваш ответ.

|V| = 6|E| = 6
  1. 1Эйлеров цикл
  2. 2Эйлеров путь, не цикл
  3. 3ни то, ни другое
6.Теория графовСложная
792725115ABCDEF

С помощью алгоритма Дейкстры найдите длину d(D) кратчайшего пути от A до D во взвешенном графе.

начало: Aконец: D
d(D) =

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: C · O(n)

Почему это ответ

Есть n уровней с постоянной работой на каждом, как при рекурсивном суммировании массива.

Ответ

C · O(n)
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: C · 2-SAT, где в каждом дизъюнкте не более двух литералов

Почему это ответ

2-SAT лежит в P (линейное время через компоненты сильной связности), тогда как 3-SAT NP-полна.

Ответ

C · 2-SAT, где в каждом дизъюнкте не более двух литералов
3.Структуры данных

Ответ: B · O(1)

Почему это ответ

Элемент матрицы в строке u и столбце v сразу показывает, есть ли ребро; в списках смежности может понадобиться просмотреть соседей u.

Ответ

B · O(1)
4.Структуры данных

Ответ: D · O(n)

Почему это ответ

Наивные объединения могут связать деревья в длинную цепочку, и find придётся пройти n − 1 указателей на родителя; две эвристики приближают стоимость к константе.

Ответ

D · O(n)
5.Теория графов

Ответ: ни то, ни другое

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Степени

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 1, deg(D) = 3, deg(E) = 2, deg(F) = 2

Нечётные вершины

A, B, C, D → 4
ни то, ни другое

Ответ

ни то, ни другое
6.Теория графов

Ответ: d(D) = 18

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстры по шагам

В каждой строке: зафиксированная вершина, её окончательное расстояние и соседи, у которых расстояние улучшается.

A (0): B: 7, C: 9
B (7): E: 22
C (9): E: 16
E (16): D: 18, F: 17
F (17)
D (18)

Кратчайший путь

A → C → E → D
d(D) = 18

Ответ

d(D) = 18

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms