Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Почему многие библиотечные процедуры сортировки переходят на сортировку вставками для очень маленьких подмассивов?

  1. AСортировка вставками использует меньше памяти, чем любой другой алгоритм сортировки, на больших входах
  2. BСортировка вставками имеет сложность O(n log n) в худшем случае
  3. CРекурсивные алгоритмы не справляются с массивами меньше 10 элементов
  4. DУ сортировки вставками малые накладные расходы, и она быстра на маленьких или почти отсортированных входах
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Алгоритм динамического программирования Хелда–Карпа точно решает задачу коммивояжёра. Каково время его работы для n городов?

  1. AO(2n²)
  2. BO(n² 2ⁿ)
  3. CO(n!)
  4. DO(n³)
3.Структуры данныхСредняя

Кольцевой буфер (ring buffer) обычно используют для реализации:

  1. AОбхода графа
  2. BХеш-функции
  3. CОчереди фиксированного размера
  4. DДвоичного дерева поиска
4.Структуры данныхСложная

Удаление узла с двумя потомками из двоичного дерева поиска обычно выполняют так:

  1. AПерестраивают поддерево под ним с нуля и заново вставляют каждый содержавшийся в нём ключ
  2. BЗаменяют его in-order преемником (или предшественником) и удаляют тот узел
  3. CМеняют его местами с корнем
  4. DУдаляют всё поддерево
5.Теория графовСредняя

Сколько различных гамильтоновых циклов, H, в полном графе K4? Циклы, отличающиеся только начальной вершиной или направлением, считаются одним и тем же.

K4
H =
6.Теория графовСложная
1610136839ABCDE

Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево. Нажмите на ребро, которое он добавляет под номером 2; пропущенные рёбра не считаются.

k = 2
  1. 1ребро AB
  2. 2ребро AC
  3. 3ребро BC
  4. 4ребро BD
  5. 5ребро CE
  6. 6ребро DE
  7. 7ребро BE

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: D · У сортировки вставками малые накладные расходы, и она быстра на маленьких или почти отсортированных входах

Почему это ответ

При малых n простой цикл сортировки вставками выигрывает у накладных расходов рекурсии быстрой сортировки или сортировки слиянием, хотя он O(n²).

Ответ

D · У сортировки вставками малые накладные расходы, и она быстра на маленьких или почти отсортированных входах
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: B · O(n² 2ⁿ)

Почему это ответ

Состояний около n 2ⁿ, и каждое вычисляется за O(n); это экспоненциально, но намного быстрее перебора всех (n − 1)! обходов.

Ответ

B · O(n² 2ⁿ)
3.Структуры данных

Ответ: C · Очереди фиксированного размера

Почему это ответ

Кольцевой буфер использует индексы head и tail, которые циклически переходят в начало, обеспечивая enqueue и dequeue за O(1) в фиксированном объёме памяти.

Ответ

C · Очереди фиксированного размера
4.Структуры данных

Ответ: B · Заменяют его in-order преемником (или предшественником) и удаляют тот узел

Почему это ответ

У in-order преемника не более одного потомка, поэтому его легко удалить, скопировав его ключ в удаляемый узел.

Ответ

B · Заменяют его in-order преемником (или предшественником) и удаляют тот узел
5.Теория графов

Ответ: H = 3

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Посчитайте

H = (4 − 1)!/2 = 6/2 = 3

Ответ

H = 3
6.Теория графов

Ответ: ребро BD

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Краскала

1. DE (3)
2. BD (6)
3. CE (8)
4. AC (10)

номер ребра 2

BD

Ответ

ребро BD

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms