Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Динамическое программирование полезно, когда у задачи есть:

  1. AОдин цикл
  2. BТолько случайные входные данные
  3. CПерекрывающиеся подзадачи и оптимальная подструктура
  4. DВообще никаких подзадач, поэтому её можно решить за один шаг
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Для какого варианта задачи о рюкзаке жадное правило «брать предметы в порядке ценности на единицу веса» всегда даёт оптимальный ответ?

  1. AНи для одного варианта
  2. BДля рюкзака 0/1, где предметы всегда нужно брать целиком
  3. CДля обоих вариантов
  4. DДля непрерывного (дробного) рюкзака, где предметы можно делить
3.Структуры данныхСредняя

Как в кольцевой очереди, хранящейся в массиве ёмкостью n, вычисляется следующая позиция после индекса i?

  1. A(i − 1) mod n
  2. B2i + 1
  3. C(i + 1) mod n
  4. Di + 1
4.Структуры данныхСложная

Как определить, есть ли цикл в односвязном списке, используя O(1) дополнительной памяти?

  1. AДвигать один указатель на один шаг, а другой на два и проверять, встретятся ли они
  2. BОтсортировать список и искать повторы
  3. CСчитать узлы, пока счёт не превысит поле длины списка
  4. DХранить каждый посещённый узел в хеш-множестве
5.Теория графовСредняя

У дерева 2 вершин степени 3, 4 вершин степени 4, 2 вершин степени 2, а все остальные его вершины — листья (степень 1). Сколько у него листьев, L?

2 × deg 34 × deg 42 × deg 2
L =
6.Теория графовСложная
64161321114ABCDE

Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево. Нажмите на ребро, которое он добавляет под номером 4; пропущенные рёбра не считаются.

k = 4
  1. 1ребро AB
  2. 2ребро AC
  3. 3ребро BC
  4. 4ребро BD
  5. 5ребро CE
  6. 6ребро DE
  7. 7ребро BE

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: C · Перекрывающиеся подзадачи и оптимальная подструктура

Почему это ответ

Сохранение результатов перекрывающихся подзадач (мемоизация или табуляция) позволяет избежать повторной работы и превращает экспоненциальные алгоритмы в полиномиальные.

Ответ

C · Перекрывающиеся подзадачи и оптимальная подструктура
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: D · Для непрерывного (дробного) рюкзака, где предметы можно делить

Почему это ответ

Когда предметы можно делить, выбор по лучшему отношению оптимален; в рюкзаке 0/1 предмет с высоким отношением может помешать лучшей комбинации, поэтому нужно динамическое программирование.

Ответ

D · Для непрерывного (дробного) рюкзака, где предметы можно делить
3.Структуры данных

Ответ: C · (i + 1) mod n

Почему это ответ

Операция взятия по модулю переводит индекс n − 1 обратно в 0, поэтому массив используется повторно без сдвига элементов.

Ответ

C · (i + 1) mod n
4.Структуры данных

Ответ: A · Двигать один указатель на один шаг, а другой на два и проверять, встретятся ли они

Почему это ответ

В алгоритме Флойда при наличии цикла быстрый указатель в итоге догоняет медленный; иначе быстрый указатель доходит до null.

Ответ

A · Двигать один указатель на один шаг, а другой на два и проверять, встретятся ли они
5.Теория графов

Ответ: L = 12

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Лемма о рукопожатиях для дерева

L + 26 = 2(L + 8) − 2
L = 12

Ответ

L = 12

Короткий путь: L = 2 + Σ (d − 2) по вершинам степени d ≥ 3.

6.Теория графов

Ответ: ребро DE

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Краскала

1. CE (2)
2. AC (4)
3. AB (6)
4. DE (11)

номер ребра 4

DE

Ответ

ребро DE

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms