Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Жадный алгоритм:

  1. AНа каждом шаге делает локально наилучший выбор
  2. BВсегда даёт оптимальное решение
  3. CПеребирает все возможные решения
  4. DИспользует только рекурсию
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Что последовало бы, если бы кто-то нашёл полиномиальный алгоритм для одной NP-полной задачи?

  1. AВсе алгоритмы с экспоненциальным временем сразу стали бы работать за линейное время
  2. BТолько эта одна задача перешла бы в P
  3. CКаждую задачу из NP можно было бы решить за полиномиальное время, то есть P = NP
  4. DПроблема остановки стала бы разрешимой
3.Структуры данныхСредняя

У вас есть ссылка на узел в середине списка. В каком списке его можно удалить за O(1)?

  1. AВ односвязном списке
  2. BВ динамическом массиве
  3. CВ двусвязном списке
  4. DВ отсортированном массиве
4.Структуры данныхСложная

Дерево отрезков (segment tree) обычно используют для:

  1. AСортировки строк по алфавиту путём хранения каждого префикса в отдельном узле дерева
  2. BОтветов на запросы на диапазонах (например, суммы диапазонов) и обновлений за O(log n)
  3. CХранения рёбер графа
  4. DРеализации стека
5.Теория графовСредняя
ABCDEFGЭйлеров циклЭйлеров путь, не циклни то, ни другое

Есть ли в связном графе эйлеров цикл, эйлеров путь, не являющийся циклом, или ни то ни другое? Нажмите на ваш ответ.

|V| = 7|E| = 7
  1. 1Эйлеров цикл
  2. 2Эйлеров путь, не цикл
  3. 3ни то, ни другое
6.Теория графовСложная
15711146141978ABCDEFG

С помощью алгоритма Дейкстры найдите длину d(F) кратчайшего пути от A до F во взвешенном графе.

начало: Aконец: F
d(F) =

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: A · На каждом шаге делает локально наилучший выбор

Почему это ответ

Жадные алгоритмы быстры и для некоторых задач оптимальны (например, алгоритм Дейкстры, кодирование Хаффмана), но не в общем случае (например, задача о размене монет для некоторых систем монет).

Ответ

A · На каждом шаге делает локально наилучший выбор
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: C · Каждую задачу из NP можно было бы решить за полиномиальное время, то есть P = NP

Почему это ответ

Поскольку весь класс NP сводится к любой NP-полной задаче за полиномиальное время, быстрый алгоритм для одной даёт быстрый алгоритм для всех.

Ответ

C · Каждую задачу из NP можно было бы решить за полиномиальное время, то есть P = NP
3.Структуры данных

Ответ: C · В двусвязном списке

Почему это ответ

Узел двусвязного списка знает своего предшественника, поэтому prev и next можно сразу перевязать; в односвязном списке предшественника приходится искать.

Ответ

C · В двусвязном списке
4.Структуры данных

Ответ: B · Ответов на запросы на диапазонах (например, суммы диапазонов) и обновлений за O(log n)

Почему это ответ

Дерево отрезков хранит агрегаты для отрезков, поддерживая запросы на диапазонах и точечные обновления за время O(log n).

Ответ

B · Ответов на запросы на диапазонах (например, суммы диапазонов) и обновлений за O(log n)
5.Теория графов

Ответ: ни то, ни другое

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Степени

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 2, deg(F) = 1, deg(G) = 1

Нечётные вершины

B, C, F, G → 4
ни то, ни другое

Ответ

ни то, ни другое
6.Теория графов

Ответ: d(F) = 30

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстры по шагам

В каждой строке: зафиксированная вершина, её окончательное расстояние и соседи, у которых расстояние улучшается.

A (0): C: 15
C (15): B: 22, E: 29, G: 24
B (22): D: 33
G (24): D: 31
E (29): F: 30
F (30)
D (31)

Кратчайший путь

A → C → E → F
d(F) = 30

Ответ

d(F) = 30

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms