Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Сколько памяти стека использует простая рекурсивная функция факториала fact(n) = n × fact(n − 1)?

  1. AO(n²)
  2. BO(1)
  3. CO(n)
  4. DO(log n)
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Почему любой поиск в отсортированном массиве, основанный на сравнениях, требует в худшем случае Ω(log n) сравнений?

  1. AДерево решений с n возможными исходами должно иметь глубину не менее log₂ n
  2. BБинарный поиск — единственный возможный алгоритм, и ему нужно log₂ n сравнений
  3. CКаждый элемент нужно сравнить хотя бы один раз
  4. DКаждое сравнение занимает логарифмическое время
3.Структуры данныхСредняя

Где в двоичной куче, хранящейся в массиве с индексацией от 0, находится родитель узла с индексом i?

  1. AВ индексе i − 1
  2. BВ индексе ⌊i / 2⌋ + 1
  3. CВ индексе ⌊(i − 1) / 2⌋
  4. DВ индексе 2i + 1
4.Структуры данныхСложная

Объект хранится как ключ в хеш-отображении, а затем меняется поле, используемое его хеш-функцией. Каков вероятный результат?

  1. AПоиск объекта может не удаться, потому что он лежит в корзине своего старого хеша
  2. BОтображение автоматически переносит ключ в новую корзину
  3. CОтображение выбрасывает ошибку в момент изменения поля
  4. DНичего не меняется, потому что хеш ключа вычисляется только один раз при запуске программы
5.Теория графовСредняя

Связный граф имеет 9 вершин и 12 рёбер. Сколько рёбер, k, нужно удалить, чтобы осталось остовное дерево?

|V| = 9|E| = 12
k =
6.Теория графовСложная
81013201463121ABCDEFG

Найдите суммарный вес W минимального остовного дерева взвешенного графа.

|V| = 7|E| = 9
W =

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: C · O(n)

Почему это ответ

Глубина рекурсии — n вызовов до первого возврата, и каждому вызову нужен кадр стека, поэтому используется O(n) памяти.

Ответ

C · O(n)
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: A · Дерево решений с n возможными исходами должно иметь глубину не менее log₂ n

Почему это ответ

Каждое сравнение уменьшает множество оставшихся вариантов не более чем вдвое, поэтому для различения n позиций нужно не менее log₂ n сравнений.

Ответ

A · Дерево решений с n возможными исходами должно иметь глубину не менее log₂ n
3.Структуры данных

Ответ: C · В индексе ⌊(i − 1) / 2⌋

Почему это ответ

Потомки i находятся в 2i + 1 и 2i + 2, поэтому родитель i — в ⌊(i − 1) / 2⌋; при индексации с 1 это ⌊i / 2⌋.

Ответ

C · В индексе ⌊(i − 1) / 2⌋
4.Структуры данных

Ответ: A · Поиск объекта может не удаться, потому что он лежит в корзине своего старого хеша

Почему это ответ

Место ключа было выбрано по его старому хешу; с новым хешем поиск идёт не в той корзине, поэтому ключи должны быть неизменяемыми.

Ответ

A · Поиск объекта может не удаться, потому что он лежит в корзине своего старого хеша
5.Теория графов

Ответ: k = 4

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Рёбра остовного дерева

9 − 1 = 8

Рёбра для удаления

k = 12 − 8 = 4

Ответ

k = 4
6.Теория графов

Ответ: W = 44

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Краскала

GE (1): берём
GC (3): берём
GB (6): берём
AC (8): берём
BC (10): пропускаем, замыкает цикл
GD (12): берём
BD (13): пропускаем, замыкает цикл
EF (14): берём

Суммарный вес

W = 1 + 3 + 6 + 8 + 12 + 14 = 44

Ответ

W = 44

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms